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Wir suchen zu klassifizieren. Die Klassifikation beruht auf der Definition einer Art.
Zwei Objekte, die derselben Art angehören, haben eine gemeinsame Eigenschaft.
- Nehmen Sie eine Kugel, eine besondere Kugel.
- Betrachten Sie die Untergruppe der großen Gruppe (Euklidsche Gruppe), die diese Kugel invariant lässt. Souriau nennt diese Untergruppe die Regulärität einer Kugel.
- Suchen Sie alle Objekte, die durch die Wirkung dieser Untergruppe invariant bleiben. Sie finden alle Kugeln, die auf einem gegebenen Punkt zentriert sind, einschließlich der Kugel mit Radius null: den Punkt.
Der Punkt gehört also zur Art der „Kugeln, die im Ursprung zentriert sind“.
Umgekehrt:
- Nehmen Sie einen Punkt eines dreidimensionalen Raums.
- Betrachten Sie die Untergruppe der Euklidschen Gruppe, die diesen Punkt invariant lässt. Sie finden die orthogonale Gruppe O(3).
- Suchen Sie nun alle Objekte, die durch die Wirkung der Elemente dieser Untergruppe, unter Drehung um diesen Punkt, invariant bleiben. Sie finden alle Kugeln, die auf diesem Punkt zentriert sind, und schließen daraus, dass dieser Punkt und all diese Kugeln einer gemeinsamen Art angehören.
Objekte wie eine Gerade, eine Ebene, ein Zylinder usw. können als eine Art konstruiert werden, die mit einer bestimmten speziellen Untergruppe verknüpft ist.
...In der Physik wollen wir die elementaren Teilchen klassifizieren. Aber Sie können eine Teilchen nicht zwischen Daumen und Zeigefinger nehmen und durch eine Lupe betrachten. Sie können nur ihr Verhalten, ihre Bewegung beobachten.
Sag mir, wie du dich bewegst, ich sage dir, was du bist.
...Ich habe einen alten Freund, Jean-Louis Philoche, der ein hervorragender Schachspieler ist. Er kann blind spielen (französisch: „jouer à l'aveugle“, ohne das Schachbrett zu sehen). Es genügt, ihm die Bewegung einer Figur anzugeben:
b1-c3
Für Nicht-Spieler:
(90) Züge des Springers
...Jean-Louis ist in der Lage, all dies in seinem Kopf zu speichern. Ich weiß nicht, wie er das macht, aber es funktioniert. Das beweist, dass Schachfiguren nicht notwendig sind, um zu spielen (ein Computer braucht sie nicht).
...Stellen Sie sich vor, Sie befinden sich in einem Raum und hören zwei Nachbarn, die „ein beliebiges Spiel“ spielen. Sie sehen sie nicht, aber Sie hören, wenn sie ihre Züge melden.
b2-b3 b7-b5 und so weiter...
...Sie denken: Sie bewegen etwas. Welches Spiel ist das? Sie nehmen ein Brett, legen kleine Steine darauf und notieren ihre aufeinanderfolgenden Züge auf einem Blatt Papier. Nennen wir C den Spaltenindex und L den Zeilenindex. Ein Zug entspricht:
( DC , DL )
Wenn |DC| ≤ 1 und |DL| ≤ 1: Dies entspricht einem Königszug.
Wenn |DC| = |DL|: Dies entspricht einem Läuferzug (entlang einer Diagonale).
Wenn |DC| × |DL| = 0: Dies entspricht einem Turmzug.
Wenn |DC × DL| = 3: Dies entspricht einem Springerszug.
Wenn DL strikt positiv ist: Dies entspricht einem weißen Bauern. Wenn DL strikt negativ ist: Dies entspricht einem schwarzen Bauern.
Und so weiter. Wir bauen eine Klassifikation von „Objekten“ auf der Grundlage ihres Verhaltens auf.
Ein anderes Bild. Sie haben eine Schachtel mit durcheinandergemischten Schrauben. Sie wollen diese klassifizieren. Was brauchen Sie? Verschiedene Muttern.
(91)
- Nehmen Sie eine Schraube.
- Suchen Sie die passende Mutter.
- Wählen Sie alle Schrauben aus, die zu dieser Mutter passen. Sie erhalten eine Art von Schrauben.
**Orthogonale Gruppe **O(3).
...Wir können das Gesagte oben im 2D-Kontext auf den 3D-Kontext erweitern. Wir wissen, wie man eine Drehung im dreidimensionalen Raum bezüglich eines festen Punktes, des Koordinatenursprungs, durchführt. Sie hängt von drei Winkeln a, b, g ab, die Euler-Winkel genannt werden. Wir schreiben keine solche Matrix auf, sondern notieren sie einfach:
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det (a) = +1
Es handelt sich um eine orthogonale Matrix:
(92b)
...Die orthogonale Gruppe O(3) besteht aus allen orthogonalen Matrizen, einschließlich jener mit Determinante -1. Wir nennen diese Matrizen (93)
Wie in der vorherigen Sektion können wir alle orthogonalen Matrizen aus SO(3) erhalten durch:
(94)
L sei die Diagonalmatrix:
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Alles dies ist redundant. Aber es macht sofort die grundlegenden Symmetrien sichtbar.
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(98b)
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Es gibt „Spiegelmatrizen“, die die Orientierung der Objekte umkehren und diese Objekte in ihr Spiegelbild verwandeln:
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Geben Sie ein Beispiel für ein orientiertes Objekt an, dessen Orientierung durch diese Spiegelsymmetrie umgekehrt wird:
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...Es handelt sich um die von Werner Boy, einem Schüler von Hilbert, erfundene Fläche. Auf dieses interessante Objekt wird in der auf Mathematik spezialisierten Sektion der Website besondere Aufmerksamkeit gelegt. Wir haben einen Teil der Fläche entfernt, um den Dreifachpunkt T zu zeigen.
...Sie können eines dieser Objekte „rechts“ oder „links“ nennen. Niemand hat jemals angegeben, welcher Drehbewegung „rechts“ auf der Boy-Fläche entspricht. Auf jeden Fall: Warum soll man eine Boy-Fläche drehen? Einige behaupten, sie könne fliegen, aber ich bin skeptisch.
Weiter:
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(103)
(104)
...Wie in der 2D-Geometrie (Spiegelung am Ursprung) ist die Spiegelung an der x-Achse äquivalent einer Drehung um π. Schließlich:
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die die Orientierung der Objekte verändert.