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Über die Komponenten der Gruppe.
O(2) ist eine Gruppe, die aus zwei Komponenten besteht:
- Ihrer neutralen Komponente (einer Untergruppe SO(2), die das neutrale Element 1 enthält).
- Den restlichen Elementen.
Wenn man eine zweidimensionale euklidische Gruppe aus O(2) bildet:
(112)
besitzt diese Gruppe zwei Komponenten. Ihre neutrale Komponente besteht aus den Elementen von SO(2).
(113)
...
Wir nennen sie die spezielle euklidische Gruppe: Mit dieser Gruppe kann man die Orientierung eines „Buchstabens“, wie R, nicht umkehren. Die euklidische Gruppe mit zwei Komponenten wird als vollständige Gruppe bezeichnet.
... Im Vergleich zur speziellen Gruppe, der Untergruppe der vollständigen euklidischen Gruppe:
(114)
gehören zu zwei verschiedenen Arten, da es kein Element gEO dieser Gruppe GSE (bzw. SE(2)) gibt, das den ersten Buchstaben in den zweiten verwandeln könnte und umgekehrt.
... Im Vergleich zur vollständigen Gruppe gehören diese beiden Buchstaben derselben Art an, da ein Element gE der Gruppe GE (Symmetrie, das zur zweiten Komponente gehört) existiert, das einen dieser beiden Buchstaben in den anderen verwandeln kann.
Ebenso besitzt die dreidimensionale euklidische Gruppe (die vollständige euklidische Gruppe):
(115)
zwei Komponenten. Die erste, die neutrale Komponente, ist eine Untergruppe, gebildet aus den Elementen von SO(3):
(116)
... Wir nennen diese neutrale Komponente die spezielle euklidische Gruppe SE(2). Im Vergleich zu dieser Gruppe gehören eine rechte und eine linke Hand zu verschiedenen Arten, da kein Element gSE der Gruppe GSE eine linke in eine rechte Hand verwandeln kann und umgekehrt.
Im Vergleich zur vollständigen Gruppe gehören sie derselben Art an.
Eine kurze Bemerkung:
Wenn ein Mensch sein Spiegelbild betrachtet, sieht er, dass seine linke und rechte Hand vertauscht sind. Warum sind jedoch Kopf und Füße nicht ebenfalls vertauscht?
Die Antwort liefert der französische Mathematiker J.M. Souriau:
(116b)
Eine weitere, technischere Bemerkung. Aus der orientierten euklidischen Gruppe lässt sich die vollständige euklidische Gruppe durch Verwendung eines Skalars l = ± 1 konstruieren:
(116c)
Die Elemente mit l = -1 gehören zur zweiten Komponente und „invertieren den Raum“, wodurch Objekte in ihre enantiomorphen Bilder verwandelt werden.
Erweiterung auf die 4-dimensionale PT-Gruppe.
Ausgehend von der speziellen orthogonalen Gruppe:
(118)
bauen wir die PT-Gruppe mittels (4,4)-Matrizen auf:
(119)
Es handelt sich um eine Vier-Komponenten-Gruppe (l = ± 1; m = ± 1).
Diese Gruppe wirkt auf Raumzeit durch folgende Wirkung:
(120)
Beachten Sie, dass wir es auch schreiben könnten:
(121)
Aber das ändert nichts, da die grundlegende Wirkung nicht verändert wird.
Unter diesen vier Komponenten haben wir die neutrale Komponente, die raum- und zeitorientierte Gruppe.
(122)
Wir haben:
(123)
Beachten Sie, dass:
(124)
gSOTO ist ebenfalls eine orthogonale Matrix. Orthogonale Matrizen sind durch diese axiomatische Eigenschaft definiert.
... Beachten Sie, dass wir die axiomatischen Eigenschaften besonderer Matrizen weitaus stärker nutzen werden als die Matrizen selbst. Bei der SO(2)-Gruppe haben wir die Matrizen explizit aufgeschrieben. Für SO(3) und O(3) werden wir dies jedoch nicht tun, da es weder notwendig noch sinnvoll wäre und die Berechnungen unnötig kompliziert machen würde. Es ist viel effizienter und eleganter, die axiomatischen Eigenschaften der Matrizen der Gruppe zu nutzen.
Vorausschauend betrachten wir die durch folgende Matrizen definierten:
(125)
wobei:
(126)
In Diagonalform:
(127)
Zusätzlich:
(128)
Zeigen Sie, dass diese Matrizen eine Gruppe bilden.
Betrachten Sie:
(129)
und bilden Sie:
(130)
Das Produkt dieser verallgemeinerten Lorentz-Matrizen erfüllt dann das Axiom.
Zeigen Sie, dass die inverse Matrix zur Gruppe gehört:
(131)
Berechnen Sie die inverse Matrix.
(132) (132b)
entspricht dem Sonderfall:
(132c)
... Die Form dieser Matrix entspricht der Metrik des Raum-Zeit-Raums (wie wir später bei der Behandlung der relativistischen Welt mit Lorentz-Matrizen erneut sehen werden).
(133)
wobei ein Raum-Zeit-Vektor ist.
Der Zusammenhang entspricht der elementaren quadratischen Form:
(134)
mit:
(134b)
was ergibt:
(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²
x° = ct ist eine „chronologische Variable“.
Dies entspricht einem euklidischen Raum-Zeit-Raum, in dem die Geschwindigkeit:
(136)
unbegrenzt ist.
Index Dynamische Gruppentheorie
