Gruppen und Physik adjungierte Aktion Impuls
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Ein Element gp der Poincaré-Gruppe Gp ist durch eine Folge von Parametern {pi} definiert, deren Anzahl, wie bereits erwähnt, die Dimension der Gruppe darstellt. Die Matrix d**g (g = e) **wird aus den Größen {dpi} gebildet. Die obige Abbildung ist also vom Typ:
(81)
Mit anderen Worten, einer Menge von Skalaren dpi wird eine gleiche Anzahl von Skalaren dpi' zugeordnet. Die Dualität besteht darin, die Invarianz eines Skalars zu postulieren, gemäß:
(82)
wobei n die Dimension der Gruppe ist (zehn für die Poincaré-Gruppe). Die Skalare Ji repräsentieren die Komponenten des Impulses, in gleicher Anzahl.
Wir entscheiden uns, diesen Impuls **J **in zwei Objekte aufzuteilen. Das erste ist eine antisymmetrische Matrix M der Form (4,4), also mit sechs Komponenten, und das zweite ein "Vierervektor" P, eine Matrix der Form (4,1):
(83)
(84) **J **= { M , p , E} = { M , P } Wir schreiben das Skalarprodukt in der Form:
(85)
wobei Tr für "Spur von" steht, und wir erhalten auch:
(86)
eine lineare Form, deren Invarianz die Dualität gewährleistet.
mit:
(87) (87b)
(87c)
aber GG = 1, also gilt:
(88)
Identifizieren wir die Terme in y (89)
Das heißt:
(90)
----> Auch hier folgen weitere Details der Matrizenrechnung. Wenn Sie dies möchten, klicken Sie hier, um direkt zum Ergebnis zu gelangen.
In der Spur kann man eine zyklische Vertauschung der Terme vornehmen.
(90a)
(90b)
(90c)
Der zweite Term auf der rechten Seite ist gleich dem Produkt einer Zeilenmatrix mit einer Spaltenmatrix.
Dies ist gleich der Spur des umgekehrten Produkts (wie unten schematisch dargestellt, das Produkt einer Zeilenmatrix mit einer Spaltenmatrix):
(90d)
In dieser Spur kann ich eine zyklische Vertauschung vornehmen:
(90e)
Daher:
(90f)
(90g)
Hier wenden wir erneut den Satz über die Spuren von Matrizen an, die das Produkt einer anderen Matrix mit einer symmetrischen Matrix sind.
Jede Matrix kann symmetrisiert oder antisymmetrisiert werden. Außerdem ist die Spur des Produkts einer Matrix mit einer symmetrischen Matrix gleich Null.
(90h)
Dies kann ich auf die Matrix (90i) anwenden, da die Spur gebildet wird
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
aber:
(90l)
daher
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
und:
(90q)
schließlich:
(90r)
Durch Zusammenfassen und Verschieben der Striche erhalte ich meine Gruppenaktion:
Bilder
