f4504 *Geometrisierung von Materie und Antimaterie durch die koadjungierte Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum. 4: * *Die Zwilling-Gruppe. Geometrische Beschreibung der Dirac-Antimaterie. * Geometrische Interpretationen der Antimaterie nach Feynman und dem sogenannten CPT-Theorem. (p4)
Einige Kommentare zu den Metriken.
Alle Elemente der Gruppe sind aus den Elementen der vollständigen Lorentz-Gruppe konstruiert, die folgende Bedingungen erfüllen:
(7) (4507)
mit
(8) (4508)
Diese letzte Matrix ist mit der Metrik verknüpft:
(9) (4509)
Daher haben die beiden Faltungen dieselbe Signatur. Wenn sie als Minkowski-Räume beschrieben werden, sind ihre Metriken identisch. Ihre Zeitpfeile sind jedoch entgegengesetzt.
Wenn man die beiden Faltungen, die beiden Universen beschreiben möchte, muss man seine eigene Zeitpfeilrichtung und seine räumliche Orientierung wählen.
Es ist klar, dass die Dualität zwischen Materie und Antimaterie in beiden Faltungen auftritt. Wenn man die zweite Faltung „Zwillingsfaltung“ (A. Sakharov) oder „Schattenfaltung“ (Green, Schwarz und Salam) oder noch „Geisterfaltung“ (Autorwahl) nennt, ist der Zeitpfeil in dieser zweiten Faltung entgegengesetzt (T-Symmetrie), wie von A. Sakharov vorhergesagt, und die räumlichen Strukturen sind enantiomorph (P-Symmetrie).
In der zweiten Faltung ist die Materie CPT-symmetrisch gegenüber unserer. Daher besitzt ein Proton in dieser Faltung eine negative Ladung und ein Elektron eine positive Ladung.
Umgekehrt besitzt ein Antielektron dieser Faltung, das PT-symmetrisch zu unserer ist, eine negative Ladung, wodurch ein Antiproton der zweiten Faltung eine positive Ladung besitzt.
Zusammenfassend ist die zweite Faltung CPT-symmetrisch zu unserer. Wie von Andrei Sakharov vorgeschlagen, können wir erwarten, dass die Verletzung des Paritätsprinzips in dieser Faltung umgekehrt wird.
Wenn die Abwesenheit von Antimaterie in unserer Faltung eine direkte Folge der Verletzung des Paritätsprinzips ist, ist es möglich, dass eine solche Asymmetrie in der anderen Faltung umgekehrt wird.
Gekoppelte Faltungen.
All unsere Arbeit in Astrophysik und Kosmologie (siehe Geometrische Physik A) ergibt sich aus einem System von zwei gekoppelten Feldgleichungen:
(10) **S *= c ( T - T )
(11) *S *** = c ( T - T )
Die beiden Minuszeichen wurden als a priori-Hypothese eingeführt. Am Ende dieses Werkes, das auf der Gruppentheorie basiert, ergibt sich eine Erklärung. Die beiden Faltungen müssen entgegengesetzte Zeitpfeile besitzen und müssen enantiomorph sein, um den aus der Gruppenstruktur stammenden Einschränkungen zu entsprechen.
Daher verhält sich die Materie, die in der anderen Faltung liegt, für einen Beobachter in der ersten Faltung, als ob sie eine negative Masse besitze, was aus der koadjungierten Wirkung und der T-Symmetrie folgt.
Zusammenfassung.
Aus der Referenzarbeit [3] haben wir das Modell verändert, um Begegnungen zwischen Teilchen mit positiver und negativer Masse zu vermeiden. Die Lösung bestand darin, eine zwei-zehndimensionale Faltung (F, F*) als Quotient der Gruppe durch ihren orthochronen Untergruppen zu konstruieren.
Dann erhalten wir zwei Räume mit entgegengesetzten Zeitpfeilen.
Wir untersuchen den Einfluss der verschiedenen Komponenten der Gruppe auf den Impuls- und Bewegungsraum. Es wird gezeigt, dass die Materie-Antimaterie-Dualität in beiden Faltungen, in beiden Universen auftritt.
Dieses Werk bietet einen neuen Blick auf Antimaterie, mithilfe geometrischer Werkzeuge.
Zum Beispiel ist die Dirac-Antimaterie die Antimaterie unserer eigenen Faltung.
Die Materie der zweiten Faltung ist CPT-symmetrisch zu unserer.
Der PT-symmetrische Teilchen der Materie, die unserer Faltung angehört, ist die Antimaterie der anderen Faltung.
Die Teilchen der Materie und Antimaterie unseres Universums besitzen positive Masse und Energie.
Die Teilchen der Materie und Antimaterie der zweiten Faltung besitzen negative Masse und Energie.
**Anhang **:
Erweiterung der Gruppe.
Betrachten Sie eine Gruppe, bestehend aus Matrizen:
(1) (4513)
A ist eine quadratische Matrix. B ist eine Spaltenmatrix und O eine Zeilenmatrix, bestehend aus Nullen.
Betrachten Sie die Erweiterung:
(2) (4514)
wobei J die folgende Zeilen-Untermatrix ist:
(3) (4515)
J ist ein Skalar.
Überprüfen Sie, dass (2) eine Gruppe ist:
(4) (4516)
(5) (4517)
(6) (4518)
Dann:
(7) (4519)
Die inverse Matrix ist:
(8) (4520)
Das Element der Lie-Algebra ist:
(9) (4521)
Berechnen Sie die Wirkung von g₃⁻¹ auf das Element der Lie-Algebra dg₃:
(10) (4522)
(11) (4523)
g ist eine Matrix:
(12) (4524)
damit:
(13) (4525)
Die Identifizierung:
(14) (4526)
liefert:
(15) (4527)
(16) (4528)
Originalversion (Englisch)
f4504 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's antimatter. Geometrical interpretations of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. (p4)
Some comments about the metrics.
All the elements of the group are built from the elements of the complete Lorentz group, which obey :
(7) (4507)
with
(8) (4508)
This last matrix is linked to the metric :
(9) (4509)
So that the two folds have same signature. If they are described as Minkiwski space times, their metrics are identical. But their arrows of time are opposite.
If one wants to describe the two folds, the two universes, one have to choose his own arrow of time and space orientation.
It is clear that the duality matter-antimatter occurs in both folds. If we call the second fold "twin fols" (A.Sakharov) or "shadow fold" (Green, Schwarz and Salam) or " ghost fold" (the author's choice) the arrow of time in this second fold is opposite (T-symmetry), as predicted by A.Sakharov, and space structures are enantiomorphic (P-symmetry).
In the second fold the matter is CPT-symmetric with respect to ours. Whence, in that fold, a proton owns a negative charge and an electron a positive charge.
Conversely, an anti-electron of that fold, PT-symmetric with respect to ours, owns a negative charge, whence an antiproton of the second fold has a positive charge.
To sum up, the second fold is CPT symmetric with respect to ours. As suggested by Andréi Sakharov, we can expect that the violation of the parity principle could be reversed in that fold.
If the absence of antimatter, in our fold, is a direct consequence of the violation of the parity principle, it is possible that such dissymmetry would be reversed in the other fold.
Interacting folds.
All our work in astrophysics and cosmology ( see Geometrical Physics A ) comes from a system of two coupled field equations :
(10) **S *= c ( T - T )
(11) *S *** = c ( T - T )
The two minus signs were introduced as an a priori hypothesis. At the end of this work, based on group theory, the explanation arises. The two folds *must *have opposite arrows of time and *must *be enantiomorphic in order to fit constrainsts coming from the group structure.
So that the other matter, located in the other fold, for an orbserver located in the first, bahaves as if it own a negative mass, which comes from the coadjoint action and the T-symmetry.
Conclusion.
Starting from the work of reference [3] we have modified the model, in order to avoir encounters between positive and negative mass particles. The solution was to build a two-ten-dimensional folds (F,F*) as the quotient of the group by its orthochron sub-group.
Then we get two spaces with opposite arrows of time.
We study the impact of the different components of the group on momentum and movement spaces. One shows that the duality matter-antimatter occurs in boths folds, in both universes.
This work gives a new insight on antimatter, through geometrical tools.
For an example Dirac's antimatter is the antimatter of our own fold.
The matter of the second fold is CPT-symmetrical with respect to ours.
The PT-symmetrical of a matter particle that belongs to our fold is the antimatter of the other fold.
Matter and antimatter particles of our universe own positive mass and energie.
Matter and antimatter particles of the second fold own negative mass and energy.
**Annex **:
Extension of the group.
Consider a group composed by matrixes :
(1) (4513)
A is a square matrix. B is a column matric and O a ligne matrix, composed by null terms.
Consider the extension :
(2) (4514)
where J is the following ligne sub-matrix :
(3) (4515)
J being a scalar.
Check that (2) is a group :
(4) (4516)
(5) (4517)
(6) (4518)
Then :
(7) (4519)
The inverse matrix is :
(8) (4520)
The element of the Lie algebra is :
(9) (4521)
Calculate the action of g3-1 on the element of the Lie algebra element dg3 (10) (4522)
(11) (4523)
**g **is a matrix :
(12) (4524)
so that :
(13) (4525)
The identification :
(14) (4526)
gives :
(15) (4527)
(16) (4528)