Mathematik Geometrie Transformation Flächen
Wie man eine Cross Cap-Fläche in eine Boy-Fläche (rechts oder links, je nach Wahl) verwandelt
über die Steiner-Romane-Fläche.
Italienisch: Andrea Sambusetti, Universität Rom
../../Crosscap_Boy1.htm
**27. September - 25. Oktober 2003 **
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Das, wie Kipling sagen würde, erfordert „große List und magische Kraft“.
Ich bin im Ruhestand, aber ich möchte sagen, dass ich immer noch ein bisschen Forschung betreibe, „gegen meinen Willen“, wie andere in ihrer Freizeit stricken. Wenn Sie Geduld haben und sich Kartonpapier mit 200 g aus der Kiste besorgen, können Sie diese Modelle selbst nachbauen. Mein Freund Christophe Tardy baut aus diesen Modellen eine Animation, die nicht schlecht werden wird.
Die Cross Cap-Fläche wird in den folgenden Zeichnungen erscheinen, ebenso wie die Steiner-Romane-Fläche. Sie können sie aber auch in der Sektion Virtual Reality entdecken, dazu müssen Sie jedoch das Programm Cosmoplayer auf Ihrem Computer herunterladen. Machen Sie es, es ist wirklich nett. Alles dreht sich um die „Kegelpunkte“. Diese Punkte entstehen natürlich, wenn Sie auf einem Pferd sitzen und die Beine fest zusammenpressen. Dann wird der Körper des Pferdes entlang eines Segments zusammengedrückt. Das rechte Oberschenkel wird entlang dieses Segments an die rechte Schulter angeheftet, während das linke Oberschenkel an die linke Schulter angeheftet wird. Was den Kegelpunkt betrifft, suchen Sie ihn nicht: Sie sitzen einfach darauf.
Aber alles ist gezeichnet ... rund. Gehen wir zu einer „polyedrischen Darstellung“ des Kegelpunktes über (so wie ein Würfel oder ein Tetraeder als polyedrische Darstellung einer einfachen Kugel angesehen werden können). Der dicke Strich stellt die „Selbstschnittkurve“ dar, die im Kegelpunkt C endet.
Drucken Sie diese Tafeln aus, es ist besser. Danach werden Sie benötigen, einen Kegelpunkt in „verschiedenen Konfigurationen“ zu erkennen und ihn nicht mit einem einfachen Polyeder-Eck zu verwechseln. Bauen Sie, wenn Sie können, diese verschiedenen Objekte aus Karton, Sie werden es besser verstehen. Hier unten haben wir eine wesentliche Operation, genannt „Erzeugung-Auflösung eines Paares von Kegelpunkten“. Das erste Bild zeigt eine Art Zylinder, der sich entlang des in Fett gedruckten Segments selbst schneidet, dessen Querschnitt an den griechischen Buchstaben Gamma erinnert, umgedreht. Wir verformen also diese Fläche „quetschend“ den Schlauch, dessen Querschnitt einer „umgedrehten Träne“ ähnelt. Auf diese Weise verwandeln wir diese „Träne“ in einen Punkt S. Danach teilt sich dieser Punkt auf und erzeugt zwei Kegelpunkte. Dies ist die Operation zur Erzeugung eines Paares von Kegelpunkten. Die entgegengesetzte Operation zerstört zwei Kegelpunkte. Direkt darunter finden Sie die polyedrische Version dieser Operation.
Hier unten ist eine weitere polyedrische Darstellung der Transformation, die dem ähnelt, was Sie in der Fläche bald sehen werden.
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