Mathematik Geometrie Transformation Flächen
Wie man eine Cross Cap-Fläche in eine Boy-Fläche (rechts oder links, je nach Wahl) verwandelt
indem man die Steiner-Romane-Fläche durchläuft.
Italienisch: Andrea Sambusetti, Universität Rom
../../Crosscap_Boy1.htm
**27. September - 25. Oktober 2003 **
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Das, wie Kipling sagen würde, erfordert „große List und magische Kraft“.
Ich bin im Ruhestand, aber ich darf sagen, dass ich immer noch ein bisschen Forschung betreibe, „gegen meinen Willen“, wie andere in ihrer Freizeit stricken. Wenn Sie Geduld haben und sich Kartonplatten von 200 g mit Kästchen besorgen, können Sie selbst alle diese Modelle nachbauen. Mein Freund Christophe Tardy baut aus diesen eine Animation, die nicht schlecht werden sollte.
Die Cross Cap-Fläche wird in den folgenden Zeichnungen auftauchen, ebenso wie die Steiner-Romane-Fläche. Aber Sie können sie auch in der Sektion Virtual Reality entdecken, dazu müssen Sie jedoch das Programm Cosmoplayer auf Ihrem Computer herunterladen. Machen Sie es, es ist wirklich nett. Alles dreht sich um die „Kegelpunkte“. Diese Punkte entstehen natürlich, wenn Sie auf einem Pferd sitzen und die Beine fest zusammenpressen. Dann wird der Körper des Pferdes entlang eines Segments zusammengedrückt. Das rechte Oberschenkel wird dann entlang dieses Segments an die rechte Schulter angeheftet, während das linke Oberschenkel an die linke Schulter angeheftet wird. Was den Kegelpunkt angeht, suchen Sie ihn nicht: Sie sitzen einfach darauf.
Aber alles ist gezeichnet ... rund. Gehen wir zu einer „polyederischen Darstellung“ des Kegelpunkts über (so wie ein Würfel oder ein Tetraeder als polyedrische Darstellung einer einfachen Kugel angesehen werden können). Der dicke Strich stellt die „Selbstschnittkurve“ dar, die im Kegelpunkt C endet.
Drucken Sie diese Tafeln aus, es ist besser. Danach werden Sie benötigen, einen Kegelpunkt in „verschiedenen Konfigurationen“ zu erkennen und ihn nicht mit einem einfachen Ecken des Polyeders zu verwechseln. Bauen Sie, wenn Sie können, diese verschiedenen Objekte aus Karton, Sie werden es besser verstehen. Hier unten haben wir eine wesentliche Operation, genannt „Erzeugung-Lösung einer Paar von Kegelpunkten“. Das erste Bild stellt einen Zylinder dar, der sich entlang des in Fett gedruckten Segments selbst schneidet, dessen Querschnitt an den griechischen Buchstaben Gamma erinnert, umgedreht. Wir verformen also diese Fläche „quetschend“ den Schlauch, dessen Querschnitt einer „umgedrehten Träne“ ähnelt. Auf diese Weise verwandeln wir diese „Träne“ in einen Punkt S. Danach teilt sich dieser Punkt und erzeugt zwei Kegelpunkte. Dies ist die Operation der Erzeugung eines Paares von Kegelpunkten. Die entgegengesetzte Operation zerstört zwei Kegelpunkte. Direkt darunter finden Sie die polyedrische Version dieser Operation.
Hier unten ist eine weitere polyedrische Darstellung der Transformation, die dem ähnelt, was Sie in der Fläche kurz darauf sehen werden.
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