4
Orthogonale Matrizen. Orthogonale Gruppen.
Betrachten wir eine quadratische Matrix
a
. Die transponierte Matrix entspricht dem Austausch der symmetrischen Elemente bezüglich der Diagonale, wie in der Abbildung dargestellt:
(38)
Wir bezeichnen die inverse Matrix mit
a⁻¹.
Sie genügt der Beziehung:
a × a⁻¹ = 1
Ab jetzt schreiben wir das Multiplikationszeichen nicht mehr und schreiben einfach:
a a⁻¹ = 1
Wenn zwei fettgedruckte Buchstaben nebeneinander stehen, betrachten wir dies automatisch als Produkt zweier Matrizen.
Eine orthogonale Matrix ist eine Matrix, deren Inverse mit ihrer Transponierten übereinstimmt.
(38b)
Man kann zeigen, dass gilt:
(38c)
Damit ist die Determinante einer orthogonalen Matrix ±1.
Es gibt orthogonale Matrizen beliebiger Ordnung (n,n). Sie bilden Gruppen
O(n)
O(n) ist die Menge aller orthogonalen Matrizen (n,n).
Betrachten wir die Matrizen:
(39)
Das sind orthogonale Matrizen mit der Determinante:
det(g) = +1
Dies ist eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe
O(2), genannt „spezielle orthogonale Gruppe“ SO(2).
Wir haben die orthogonale Gruppe O(3), bestehend aus (3,3)-Matrizen mit Determinante ±1. Sie besitzt eine Untergruppe SO(3), bestehend aus orthogonalen Matrizen mit Determinante +1.
In vier Dimensionen: Wir haben die orthogonale Gruppe O(4) und ihre Untergruppe: die spezielle orthogonale Gruppe SO(4).
In n Dimensionen: Die orthogonale Gruppe O(n), bestehend aus (n,n)-Matrizen mit Determinante ±1. Sie besitzt eine Untergruppe, die sogenannte spezielle orthogonale Gruppe SO(n), eingeschränkt auf orthogonale Matrizen mit Determinante +1.
Man kann zeigen, dass die Dimension einer orthogonalen Gruppe (40) beträgt.
Anwendung auf die zweidimensionale Ebene: Die Dimension der Gruppe ist 1.
Anwendung auf den dreidimensionalen Raum: Die Dimension der Gruppe ist drei (die drei Eulerschen Winkel).
Anwendung auf den vierdimensionalen Raum: Die Dimension wird sechs.
Wir haben die orientierte spezielle euklidische Gruppe SE(2) eingeführt:
(41)
die Drehungen und Translationen kombiniert.
Bezeichnen wir:
(42)
Dann können wir die Matrix und ihre Wirkung auf den Raum schreiben:
(43)
Bemerkung:
(44)
In unserem zweidimensionalen flachen Raum, in unserer Ebene, finden wir Objekte wie:
(45)
Betrachten wir diese besonderen Objekte:
(46)
Sie gehören einer Art an. Wenn ich ein beliebiges Paar dieser Objekte nehme, kann ich ein Gruppenelement finden, das das erste auf das zweite abbildet und umgekehrt.
Die zweite Teilmenge von Objekten:
(47)
gehört einer anderen Art an.
Auch die dritte:
(48)
Aber:
(49)
Ich kann keine Kombination aus Drehung a und Translation c finden, die eines auf das andere abbildet.
Können wir die orientierte euklidische Gruppe so modifizieren, dass dies möglich wird?
Index Theorie der dynamischen Gruppen