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Symmetrien.
(49b)
Was bedeutet das?
Betrachten wir eine Gruppe aus vier Elementen (eine „diskrete Gruppe“).
(50)
die ich schreiben kann als:
(51)
Die entsprechende Wirkung ist:
(52)
Es ist klar, dass sie die x-Koordinate, die y-Koordinate oder beide umkehren kann.
Schematisch:
(53)
(54)
(55)
(56)
Wir können nun die Matrix aufbauen:
(57)
Wir können überprüfen, dass diese Menge von Matrizen eine Gruppe bildet.
Ihre Determinante ist:
(58)
det (
a
) = l m (cos² a + sin² a) = l m = ±1
Überprüfen wir, ob die inverse Matrix ist:
(59)
(60)
(61)
Daraus folgt:
(62)
woraus sich ergibt:
(63)
SO(2) (genannt spezielle orthogonale Gruppe) ist eine Untergruppe von O(2) (genannt orthogonale Gruppe), und wir können die Matrizen
a
aus den Matrizen
a
durch folgende Beziehung bilden:
(64)
Übrigens sind viele dieser Matrizen überflüssig. Zum Beispiel, wenn
(64b)
(65)
bedeutet, dass die Transformation (x → -x; y → -y) äquivalent einer Drehung um den Winkel p ist. Siehe folgende Abbildung.
(66)
Wir wissen, dass die Matrizen:
(67)
einer einfachen Drehung um den Koordinatenursprung O entsprechen.
Was bedeutet nun die allgemeinere Matrix:
(68)
Aus:
(69)
wissen wir, dass
a
zwei kombinierte Operationen entspricht:
-
Eine Spiegelung an der Achse OX oder an der Achse OY oder an beiden.
-
Eine Drehung um den Winkel a um den Koordinatenursprung.
(70)
Auf der Abbildung ist die Reihenfolge der beiden Operationen (M1 → M4) dargestellt.
Es ist klar, dass dies äquivalent einer Spiegelung an einer Geraden durch O ist.
(71)
Wir haben die „spezielle orthogonale Gruppe“ SO(2), die aus der „orthogonalen Gruppe“ O(2) hervorgegangen ist, erweitert. Wir entdecken nun, dass diese erweiterte Gruppe Spiegelungen enthält: alle Spiegelungen an Geraden durch den Koordinatenursprung O.
(72)
Index Dynamische Gruppentheorie