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Bestandteile einer Gruppe.
Wir haben zwei Gruppen betrachtet: SO(2) und O(2). Die zweite enthält die erste.
Die erste enthält das neutrale Element. Wir können die Elemente der Gruppe wie folgt darstellen:
(73)
.
Die Elemente der ersten Komponente bilden eine Gruppe (eine Untergruppe).
Die Elemente der zweiten Gruppe bilden keine Gruppe, aus mehreren Gründen:
-
Sie enthält nicht
das neutrale Element 1. -
Wir können zwei Matrizen aus dieser zweiten Komponente wählen, deren Produkt nicht zu dieser zweiten Komponente gehört. Beispiel:
(74)
Die Komponente der Gruppe, die das neutrale Element
1
enthält,
wird die
neutrale Komponente der Gruppe
genannt.
In der Folge werden wir Gruppen mit 2, 4 oder 8 Komponenten betrachten.
Die Euklidische Gruppe.
Wir können nun diese erweiterte und bereicherte Gruppe mit der zweidimensionalen Translation verbinden und erhalten:
(75)
sowie die entsprechende Wirkung dieser euklidischen Gruppe:
(76)
Angenommen, wir verwenden unsere Gruppe, um alphabetische Buchstaben zu manipulieren, zu steuern, zu untersuchen.
Beschränken wir die Menge auf:
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Wir haben mehrere Größen:
(77)
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Wir wissen, dass wir kein Element der Gruppe und keine nachfolgende Gruppenwirkung finden können, die folgendes transformiert:
G in G
da ihre Größen unterschiedlich sind. Wir beschließen, ihre Größen als
Massen
zu bezeichnen, damit G und G analog zu Teilchen, Objekten, Atomen mit unterschiedlichen Massen sind.
Nun hängt es von der Gruppe ab, die auf diese Menge von Objekten wirkt. Wenn ich nutze:
(78)
angenommen, diese „Welt“ sei gefüllt mit:
(79)
mit einem bestimmten Spektrum von Größen (Massen) und Winkeln. Wenn ich Gruppenwirkungen ausführe, egal welche, werde ich niemals Objekte finden, die zum russischen Alphabet gehören:
(80)
Es wird möglich, wenn ich die erweiterte Gruppe, die euklidische Gruppe, verwende:
(80b)
Dann wird meine „Welt“ folgendermaßen aussehen:
(81)
Die Gruppe hat den „Zoo“ der Buchstaben bereichert. Doch in meinem Zoo ist ein Buchstabe symmetrieinvariant, d.h.:
(82)
(83)
(84)
(85)
Im Allgemeinen verändert jede Symmetrie bezüglich einer beliebigen Geraden in der Ebene, also ein „2D-Spiegel“, nicht die „Natur“ dieses Zeichens
(86)
Ich werde dieses Zeichen einen „Photonen“ nennen und die Transformation
(87)
der Materie-Antimaterie-Dualität gleichsetzen. Damit erhalte ich einen globalen Zoo:
(88)
Wir könnten Buchstaben gleicher Form (Natur), aber unterschiedlicher Größe (die ihre Energien repräsentieren), mittels der Descartes-Gruppe verbinden:
(89)
Doch wir werden kein vollständiges analoges Modell der Elementarteilchen auf Basis alphabetischer Zeichen aufbauen. Trotzdem beginnen Sie zu erkennen, wohin uns dies führt. Gruppen haben einfache Aspekte, aber verborgene Eigenschaften. Diese Eigenschaften hängen von ihren Untergruppen ab, die die
Arten
hervorbringen.
Die euklidische Gruppe geht mit einer euklidischen Welt, einem euklidischen Zoo einher. Die Tiere der euklidischen Geometrie heißen Kugel, Zylinder, Prismen, Ebene, Gerade, Dreiecke usw. Sie sind invariant unter der Wirkung einer bestimmten Untergruppe. Souriau nennt die Untergruppe, die mit einem Objekt einer Art verknüpft ist, die
Regelmäßigkeit
dieses Objekts.
Beispiel: Kugeln, die in einem gegebenen Punkt O zentriert sind, sind invariant unter der Untergruppe der Drehungen um diesen Punkt.
-
Wir können annehmen, dass
die Invarianz eine Eigenschaft der Art „Kugeln, zentriert im Punkt O“ ist. -
Umgekehrt können wir annehmen, dass
diese Eigenschaft die Art
definiert.
Index Dynamische Gruppentheorie