Μαθηματική κοσμολογία και θεωρία πολυέδρων
...Αυτό είναι ένα μονοέδρο που εφεύρα, ένα βροχερό πρωινό. Αν το κοιτάξετε προσεκτικά, είναι ένα πολύεδρο με μία μόνο όψη και μία μόνο πλευρά. Αν πάρετε ένα σημείο της μοναδικής όψης και εφαρμόσετε ένα κάθετο διάνυσμα, το οποίο θα περιστραφεί γύρω από το σημείο, θα επιστρέψει με μία στροφή 90°. Μόνο μετά την τέταρτη περιστροφή θα επανέλθει στην αρχική του θέση.
...Έκανα το σχέδιο παραπάνω "για να δείξω ότι μπορώ", εικονίζοντάς το στο μυαλό μου. Τώρα όμως υπάρχουν προγράμματα που μπορούν να διαχειριστούν αντικείμενα τέτοιου είδους. Όσοι έχουν ήδη κατεβάσει (δωρεάν) το Cosmo Player ή πρόκειται να το κάνουν, θα μπορέσουν να απολαύσουν την εργασία του φίλου μου Χριστόφορ Τάρντυ σε αυτό το μονοέδρο. Εν τω μεταξύ, επανεργαστήκα με κώδικα σχεδιαστή τη μοναδική ακμή του αντικειμένου, όπως την εξέλαβε από μία από τις εικόνες του. Μέχρι σήμερα, δεν γνωρίζω κάποιο λογισμικό που να χρησιμοποιεί σημειώσεις για να δείχνει τα κρυφά μέρη και να διακόπτει τις γραμμές. Ωστόσο, μπορούμε εύκολα να χρησιμοποιήσουμε ένα φωτεινότερο σύνολο σημείων.
...Παρ' όλα αυτά, έχουμε εδώ τη μοναδική ακμή, χωρίς κανένα κορυφή.
...Μαθηματικό ενδιαφέρον; Ίσως. Αν έχετε δει τα επιστημονικά μου έργα ή την πλησιέστερη προσέγγισή τους, ίσως ξέρετε ότι αναπτύσσω ένα κοσμολογικό μοντέλο "δύο φύλλων", μία ιδέα που είχε πρώτη φορά προταθεί από τον Αντρέ Σαχάροφ (1967). Επιπλέον, αυτά τα δύο "πλευρά του κόσμου" έχουν αντίθετες χρονικές συντεταγμένες. Το θέμα του χρόνου ή "των χρόνων" παραμένει δύσκολο. Δεν υπάρχει τίποτα πιο εύκολο να γλιστρήσει από αυτό το λόγο. Τι είναι η "βέλος του χρόνου"; Μπορούμε να μιλήσουμε για "δύο αντιπαράλληλα βέλη του χρόνου"; (Αυτή ήταν η αρχική ιδέα του Σαχάροφ).
...Στην εργασία που δημοσίευσα στο περιοδικό Nuovo Cimento το 1994, εξέτασα την ιδέα που είχε πρώτα προταθεί το 1988 από τον Λίντε, ότι αυτές οι "δίδυμες περιοχές" μπορεί να είναι στην πραγματικότητα "αντιποδικές περιοχές". Έτσι, αυτά τα δύο δίδυμα κόσμου (σε αντίθεση με τον Λίντε, τα δύο κόσμου που εξετάζω αλληλεπιδρούν μέσω του βαρυτικού πεδίου, ενώ τα δικά του είναι αμοιβαία ανεξάρτητα). Είναι λοιπόν "ταυτόχρονα δύο και ένα". Ένας μαθηματικός θα έλεγε ότι αυτή η δομή είναι ένα διπλό κάλυμμα (τη σφαίρα S2 είναι το διπλό κάλυμμα μιας επιφάνειας Μποϊ). Στο Nuovo Cimento εξέτασα το διπλό κάλυμμα ενός προβολικού P3 (ισοδύναμο με μία 3D επιφάνεια Μποϊ), συμπληρώνοντας αντιποδικές περιοχές μιας υπερσφαίρας S3. Ωστόσο, πάντα σκέφτηκα ότι θα μπορούσε να είναι το διπλό κάλυμμα ενός προβολικού P4, συμπληρώνοντας αντιποδικές περιοχές μιας υπερσφαίρας S4. Σε αυτή την περίπτωση, η αλληλεπίδραση δύο "γειτονικών" περιοχών αυτού του κόσμου, ταυτόχρονα μοναδικού και διπλού, θα συμπληρώνει αντιποδικές περιοχές (σε αυτή την υπερσφαίρα S4), οι οποίες δεν θα είναι μόνο εναντίον (καθρέφτης, P-συμμετρικές) αλλά και T-συμμετρικές, δηλαδή "με αντίθετα βέλη του χρόνου". Επαναφέρουμε εδώ την ιδέα του Αντρέι Σαχάροφ.
...Το μονοέδρο είναι μία εικόνα (διδακτική) ενός κόσμου με τέσσερα φύλλα, ενός "κοσμοέδρου". Ένας κόσμος που θα ήταν "ταυτόχρονα ένας σε τέσσερα". Τέσσερις τέτοιες "γειτονικές" περιοχές θα αλληλεπιδρούσαν. Αλλά ποιες θα ήταν αυτές οι περιοχές; Πού θα έπρεπε να τις "διαβάσουμε" σε μία τέτοια εικόνα; Η κάθετη τομή του μονοέδρου (απλή διδακτική εικόνα) είναι ένα απλό τετράγωνο (εφόσον παράγεται από τη στροφή αυτού του τετραγώνου, βλέπε εικόνες σε εικονική πραγματικότητα που δημιούργησε ο C. Tardy). Οι τέσσερις πλευρές της τετραγωνικής τομής αποτελούν τέσσερις περιοχές του κόσμου που θα βρίσκονταν σε συζευγμένη σχέση. Μπορούμε λοιπόν να μιλήσουμε, τουλάχιστον τοπικά, για "διπλό κάλυμμα με τέσσερα φύλλα". Αν αντιστοιχίσουμε την κάθετη στην επιφάνεια του μονοέδρου με το βέλος του χρόνου, αυτό θα περιστρέφεται ταυτόχρονα με το τετράγωνο-παραγωγό. Έτσι, οι τέσσερις τμήματα του κόσμου θα είχαν βέλη χρόνου "σε σχήμα σταυρού", αντιπαράλληλα δύο προς δύο:
...Μπορούμε επίσης να το περιγράψουμε λέγοντας ότι υπάρχουν δύο ζεύγη δίδυμων κόσμων, με βέλη χρόνου αντιπαράλληλα δύο προς δύο. Είναι σαν να είναι:
(Σαχάροφ)²
...Γιατί μια τέτοια περίπλοκη δομή; Μήπως είναι μία νέα γεωμετρική διασκέδαση; Μμμ... Θα σας πω τι έχω στο μυαλό μου. Όταν δημιούργησα το μοντέλο με δύο δίδυμους κόσμους, απέδειξα ότι ο δεύτερος κόσμος μπορεί να φιλοξενήσει ύλη πολύ παρόμοια με τη δική μας, με τα δικά της πρωτόνια-δίδυμα, ηλεκτρόνια-δίδυμα, φωτόνια-δίδυμα κ.ο.κ. (χρησιμοποιώντας τον όρο "δίδυμο", που πρότεινε ο Σαχάροφ, ή "ghost", φαντασμαγορικό, πιο δημοφιλή στον κόσμο των υπερσυμμετριών). Απέδειξα επίσης ότι η αντιστροφή του χρόνου σημαίνει στην πραγματικότητα αντιστροφή της μάζας, άρα και της ενέργειας.
...Ο Λίντε ήταν μαθητής του Σαχάροφ. Είχα ανταλλάξει μακροσκελή συζήτηση μαζί του το 1983, στη Μόσχα, σε δωμάτιο του ξενοδοχείου National, όπου είχε έρθει να με συναντήσει. Το 1988 αναφέρθηκε σε ένα δίδυμο κόσμο όπου οι δύο ύλες θα είχαν αντίθετη ενέργεια. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τα προβλήματα που θα μπορούσαν να προκύψουν από τη συγκατοίκηση αυτών των δύο υλών στην ίδια περιοχή χρόνου-χώρου, μετέφερε τη "δεύτερη ύλη", με αρνητική ενέργεια, στα αντιποδικά σημεία. Ωστόσο, κάνοντας αυτό, δεν είδε ότι επανήλθε στην ιδέα του δασκάλου του, του Σαχάροφ (που προτείνει αντίθετους χρόνους), εφόσον (J.M. Souriau 1972) η αντιστροφή του χρόνου ή η αντιστροφή της μάζας και της ενέργειας είναι το ίδιο πράγμα. ...Αν έχετε την αντοχή ή την επάρκεια να διαβάσετε τα άρθρα του Geometrical Physics B, θα δείτε ότι η δυαδικότητα ύλης υπάρχει επίσης στο δίδυμο κόσμο. Όχι μόνο υπάρχει ύλη-δίδυμο, αλλά υπάρχει επίσης, σε αυτή τη δεύτερη πλευρά του κόσμου, μία δίδυμη αντί-ύλη.
...Όλα αυτά μπορούν να επεκταθούν σε ένα πλαίσιο με τέσσερα φύλλα. Θα επιτύχουμε τότε μία φανταστική ύλη και μία δίδυμη φανταστική ύλη (με αποκλειστικά φανταστικά βέλη του χρόνου, σε σχέση με εμάς, αντιπαράλληλα μεταξύ τους).
...Πρόβλημα: πώς θα αλληλεπιδρούσε αυτή η φανταστική ύλη με τη δική μας; Αναγνωρίζω ότι για τη στιγμή δεν έχω καμία ιδέα, αλλά θα βρω κάτι. Η γεωμετρία είναι ένας πολύπλοκος κόσμος με όλες τις δυνατές σχοινιές. ...Ας σταματήσουμε για λίγο σε αυτή την ιδέα. Τι είναι αυτός ο φανταστικός κόσμος, σε σχέση με το δικό μας; Είναι ένας μετα-κόσμος, ετυμολογικά. ...Το εξοπλισμός του θεωρητικού φυσικού και του κοσμολόγου, που δεν είναι τίποτα άλλο από αυτόν ενός καλού γεωμέτρη, επιτρέπει να φανταστούμε (όπως παρατήρησε ο Λίντε το 1988) "παράλληλους κόσμους" γεμάτους σωματιδία που είτε μπορεί να είναι ταυτόσημα με τα δικά μας, είτε να αποτελούν τις καθρέφτικες εικόνες μας (P-συμμετρία), είτε τα διπλά με αρνητική ενέργεια (T-συμμετρία), είτε και τα δύο ταυτόχρονα. Σε αυτό το σημείο, γιατί να μην προχωρήσουμε απλώς και να φανταστούμε σωματίδια με καθαρά φανταστικά παράμετρα (μάζα, φορτίο, βέλος του χρόνου κ.ο.κ.) Αυτό οδηγεί στην ιδέα ενός μετα-κόσμου που ίσως να αποτελείται επίσης από σωματίδια, υπό την επήρεια μίας καθαρά φανταστικής φυσικής, πολύ παρόμοιας με τη δική μας, η οποία θα μπορούσε να ονομαστεί μετα-φυσική.
...Δεν θυμάμαι ποιος φιλόσοφος έγραψε "η μεταφυσική είναι ένας μεγάλος ωκεανός, και για να τον διασχίσουμε δεν έχουμε ούτε σκάφος ούτε κηρήθρα". Είναι αυτή μία απόλυτη καταδίκη; Ας σκεφτούμε. Πριν από λίγα χρόνια, θεωρούσαμε, μέχρι κάποιος να συνθέσει ουρία (Wöhler το 1828), ότι "το ζωντανό" ήταν "υπό την αρμοδιότητα του Θεού ή της Φύσης", ανάλογα με τις επιλογές. Ας αναγνωρίσουμε ότι τα πράγματα έχουν αλλάξει πολύ από τότε. ...Με επαναφορά, μπορεί να τοποθετηθεί ο "Θεός" ή η "Φύση" σε εξισώσεις, να κλειστεί μέσω γεωμετρίας, θεωρίας ομάδων και θεωρίας πεδίων (ή να συλληφθεί σε ένα δίχτυ το οποίο χαράσσεται με υπερσυμμετρίες, ανάλογα με τις επιλογές).
...Πιστεύω ότι δεν πρέπει να αποκλείσουμε τίποτα εκ των προτέρων, αλλά με συνδυασμό θάρρους και υπομονής. Σχετικά με τη βιολογία, τα εκπληκτικά επιτεύγματα των τελευταίων δεκαετιών μας δίνουν την εντύπωση ότι γνωρίζουμε να κάνουμε πολλά πράγματα, ότι "έχουν γίνει σημαντικές πρόοδοι" και ότι τελικά σύντομα θ