Αναστροφή του τόρου στην τοπολογία

Η Αναστροφή του Τόρου

9 Δεκεμβρίου 2004

Σελίδα 5

Μία εφαρμογή αυτών των εργασιών: η τριβή του τόρου

Εφόσον η αναστροφή μιας σφαίρας αποδείχθηκε τόσο περίπλοκη, αντίθετα, ξεκινώντας από αυτό, είναι εξαιρετικά εύκολο να αναστραφεί ένας τόρος. Μπορούμε ακόμη να πούμε ότι είναι εύκολη για ένα παιδί δέκα ετών. Ο τόρος δεν είναι τελικά παρά μία σφαίρα με μία λαβή. Εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία που χρησιμοποιήθηκε για την ανταλλαγή των δύο κορυφών μιας Crosscap, δηλαδή αναστρέφουμε τη σφαίρα χωρίς να μας ενδιαφέρει. Η λαβή τότε βρίσκεται στο εσωτερικό. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι αυτός ο «γέφυρα» μετατρέπεται σε «υπόγειο δρόμο». Όμως, όλοι οι μηχανικοί έργων γνωρίζουν ότι κάθε υπόγειος δρόμος σε ένα δίκτυο οδών μπορεί να μετατραπεί σε σημείο μέσω μίας κανονικής ομοτοπίας.

Όταν η σφαίρα έχει αναστραφεί, αρκεί να περάσουμε το δάχτυλο μας μέσα από αυτόν τον δρόμο και να τραβήξουμε με δύναμη. Δείτε τα σχέδια παρακάτω.

Η τριβή του τόρου

Αν και δεν φαίνεται πολύ καθαρά σε αυτό το σχέδιο, στο α έχει σχεδιαστεί ένας από τους γεννήτορες του τόρου, οι οποίοι αποτελούν μία από τις δύο οικογένειες κύκλων που χρησιμοποιούνται για την χαρτογράφησή του χωρίς να δημιουργηθούν ιδιομορφίες στο δίκτυο (βλ. το Topologicon). Όταν η λαβή συγκεντρώθηκε σε μία περιοχή μιας σφαίρας με λαβή b, η καμπύλη παραμένει ορατή. Όταν η σφαίρα με λαβή έχει αναστραφεί, στο c, και ο χειριστής περάσει το δάχτυλό του μέσα από τον δρόμο, αυτή η καμπύλη περικλείει το δάχτυλό του. Όταν εξάγει τη λαβή, στο d, βλέπουμε (τελική εικόνα e, η αναστροφή του τόρου) ότι αυτός ο κύκλος έχει γίνει ο κύκλος της λεκάνης της επιφάνειας. Έτσι, όταν ξεκινήσουμε από έναν τόρο χαρτογραφημένο με διπλό δίκτυο κύκλων μεριδιανών και παραλλήλων (ο κύκλος της λεκάνης ανήκει στη δεύτερη οικογένεια), βλέπουμε ότι η διαδικασία της αναστροφής ανταλλάσσει αυτές τις δύο οικογένειες. Αυτό έχει κάτι μαγικό και ομολογώ ότι υπερβαίνει την κατανόησή μου. Κάθε άτομο θα πρέπει να μάθει να γνωρίζει τα όριά του. Προσωπικά, νομίζω ότι υπάρχουν κάποιες μαθηματικές διαδικασίες όπου το εγκέφαλο θα έπρεπε να είχε ένα ασφάλεια.

Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα

Επιστροφή στο Εγχειρίδιο Επιστροφή στην αρχική σελίδα

Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από τις 9 Δεκεμβρίου 2004: