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Grupo de traslaciones:
Consideremos un espacio de 2 dimensiones (x,y). En tal espacio, una traslación se define mediante un vector de traslación (Dx,Dy). Normalmente escribimos:
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
Para obtener los nuevos valores x' e y', utilizamos la suma. ¿Podríamos obtener los mismos resultados mediante una .....multiplicación ?
Consideremos las siguientes matrices:
(28)
Observamos que están definidas por dos parámetros independientes Dx y Dy. Por tanto, la dimensión del grupo es 2.
Forma:
(29)
Observamos que esto difiere fundamentalmente de la multiplicación matricial simple
(30) g x r
Se trata de una acción particular del grupo.
(31)
Por otro lado, podemos considerar traslaciones en espacios de 3D o 4D. Las matrices cuadradas correspondientes, que forman grupos, son:
(32)
(33)
La acción correspondiente es:
(34)
El grupo de traslaciones es conmutativo. Su elemento neutro es la traslación nula.
Grupos de matrices: ¿por qué?
...Con los grupos de matrices podemos combinar varias operaciones en una sola, en una única acción. Consideremos las siguientes matrices y la siguiente acción:
(35-1)
...Combinamos dos elementos: una rotación (de ángulo a), más una traslación (Dx,Dy).
El elemento g del grupo G actúa sobre el espacio r = (x,y), no "directamente", sino a través de una acción más refinada. Este grupo
(35-2)
llamado "grupo euclidiano especial SE(2)", actúa sobre el espacio de 2 dimensiones. Este nombre se explicará posteriormente.
¿Cuál es su dimensión? Depende de tres parámetros libres: (a, Dx, Dy), por lo tanto su dimensión es tres. Podemos escribirlo como:
gSE (a, Dx, Dy)
Subgrupos.
Para nosotros, un grupo es un conjunto de matrices cuadradas. Entre este conjunto podemos encontrar subconjuntos.
gSE (0, Dx, Dy) es el subgrupo de traslaciones. gSE (a, 0, 0) es el subgrupo de rotaciones alrededor del origen 0. gSE (0, Dx, 0) es el subgrupo de traslaciones paralelas al eje OX.
El grupo anterior transporta puntos. Estos puntos no tienen características particulares. Son... puntos, nada más.
...Pero más adelante, otros grupos, que describen el mundo físico, transportarán puntos con características diferentes, "atributos": masa, energía, impulso, espín...
Con el grupo anterior, solo son interesantes los conjuntos de puntos. Aquí surge el concepto fundamental de:
Especie.
...Nuestro primer grupo transporta objetos geométricos, que son conjuntos de puntos, figuras geométricas ("rígidas"). El conjunto más simple está compuesto por dos puntos. Consideremos pares de puntos en un espacio de 2D:
(35-3)
...En la figura (35-3) se han representado dos pares de puntos (A,B) y (A',B'). Puedo encontrar un elemento del grupo que transforme (A,B) en (A',B'): combinando una rotación alrededor del punto O y una traslación. Véase la figura (35-4).
(35-4)
Ahora consideremos los dos pares:
(35-5)
Es imposible encontrar un elemento g (matriz cuadrada) de mi grupo G que pueda transportar (A,B) sobre (A",B"). Diré que:
(A,B) y (A',B') pertenecen a la misma especie.
(A,B) y (A",B") pertenecen a especies diferentes.
La característica de una especie de pares de puntos se llama longitud.
Esta es la definición de longitud en términos de teoría de grupos.
...¿Cómo puedes afirmar que dos segmentos tienen la misma longitud? Porque puedes compararlos, superponiendo uno sobre el otro.
...En nuestro grupo, dos segmentos cuyas longitudes son diferentes pertenecen a especies diferentes, porque nuestro grupo no permite dilataciones ni contracciones (transformaciones homotéticas). El grupo encargado de ello es otro grupo ("grupo especial cartesiano"):
(35-6)
Con respecto a este grupo, todos los pares de puntos forman la misma especie. La dimensión de este grupo es cuatro.
En lugar de dos puntos, podríamos considerar tres o cuatro puntos, estos últimos formando, por ejemplo, cuadrados.
(36)
...Con respecto al grupo (35-1), los cuadrados cuyos lados tienen la misma longitud pertenecen a la misma especie. Pero si los lados de dos cuadrados son fundamentalmente diferentes:
(37)
pertenecen a especies diferentes.
Este grupo, que regula las traslaciones en 2D y las rotaciones alrededor de un punto fijo de un plano, es el grupo euclidiano especial: SE(2).
Ahora podemos imaginar fácilmente un grupo similar actuando sobre un espacio de 3D. Los grupos de traslaciones en 3D y 4D se dieron en (32) y (33).
Podemos imaginar fácilmente un grupo que describa traslaciones en un espacio de n dimensiones. Pero, ¿qué pasa con las rotaciones?
...Podemos imaginar una rotación en un espacio de 3D. Incluso podemos escribirla utilizando una matriz que contenga tres ángulos, los ángulos de Euler: entonces su dimensión es tres.
Índice Teoría de Grupos Dinámicos
Versión original (inglés)
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Group of translations :
Consider 2d space (x,y). In such space a translation is defined by translation vector ( Dx,Dy). We use to write :
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
To get the new values x' and y' we use addition . Could we get the same results through a ..... multiplication ?
Consider the following matrixes :
(28)
Notice they are defined by two independent parameters Dx and Dy. Then the dimension of the group is 2.
Form :
(29)
Notice this is basically different from the simple matricial multiplication
(30) g x r
It is a peculiar group's action.
(31)
By the way, notice we can consider translations in 3d or 4d spaces. The corresponding square matrixes, forming groups, are
(32)
(33)
The corresponding action is :
(34)
The group of translations is commutative. Its neutral element is the null-translation.
Groups of matrixes : why ?
...With matrixes' groups we can combine several operations into a single one, into a single action. Consider the following matrixes and the following action :
(35-1)
...We combine two things : a rotation ( angle a ), plus a translation (Dx,Dy).
The element g of the group G acts on space r = (x,y), not "directly" but through some more refined "action". This group
(35-2)
called "Special Euclid's group SE(2) ", acts on 2d space. This name will be explained further.
What is its dimension ? It depends on three free parameter : (a , Dx , Dy), so that its dimension is three. We may write :
gSE (a, Dx ,Dy)
Sub-groups.
For us, a group is a set of square matrixes. Among this set we can find sub-sets.
gSE (0, Dx, Dy) is the sub-group of translations. gSE (a, 0, 0) is the sub-group of rotations around the origin 0 . gSE (0, Dx, 0) is the sub-group of translation parallel to the axis OX.
The above group carries points. These point own no peculiar characteristics. They are... points, nothing else.
...But, later, other groups, which describe physical world, will carry points which will have different characteristics, "attributes" : mass, energy, impulsion, spin....
With the above group only sets of points are interesting to carry. Here appears the fundamental concept of :
Species.
...Our first group carries geometrical objects, which are sets of points, geometrical ("rigid") figures. The most simple set is composed by two points. Consider couples of points in a 2d space :
(35-3)
...On figure (35-3) two couples of points (A,B) and (A',B') have been figured. I can find an element of the group that transforms (A,B) into (A',B') : combining a rotation around the point O and a translation. See figure (35-4).
(35-4)
Now consider the two couples :
(35-5)
Impossible to find any element g ( square matrix ) of my group G which can carry (A,B) on (A",B"). I will say that:
(A,B) and (A',B') belong to a same species.
(A,B) and (A",B") belong to different species.
The characteristic of a species of couples of points is called length .
This is the definition of length in terms of group theory.
...How can you affirm that two segments have the same length ? Because you can compare them, putting one onto the other one.
...In our group two segments, whose lengths, are different belong to different species, because our group does not rule dilatations or contractions ( homothetic transforms ). The group which takes that in charge is a different one ("Special Descartes' group" ):
(35-6)
with respect to such group all couples of points form the same species. The dimension of this group is four.
Instead two points, we could consider three or four, these last forming squares, for an example.
(36)
...With respect to the group (35-1), squares whose sides have the same length belong to the same species. But if the sides of two squares are basically different :
(37)
they belong to different species.
This group, ruling 2d translation and rotations around a fixed point of a plane is the Special Euclid's group : SE(2).
Now we imagine easily a similar group acting on a 3d space. The group of 3d and 4d translations were given in (32) , (33).
We can imagine easily a group describing translations in a n-dimensional space. But what about rotations ?
...We can imagine rotation in a 3d space. We can even write it with a matrix which contains three angles, the Euler angles : then its dimension is three.