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Matrices ortogonales. Grupos ortogonales.
Consideremos una matriz cuadrada a. La matriz transpuesta corresponde al intercambio de los términos simétricos respecto a la diagonal, como se indica en la figura:
(38)
Denotamos la matriz inversa a-1
Satisface la relación:
a × a-1 = 1
A partir de ahora, ya no escribiremos el signo × y escribiremos simplemente: a a-1 = 1. Cuando dos letras en negrita están juntas, consideramos que corresponden automáticamente al producto de dos matrices.
Una matriz ortogonal es una matriz cuya inversa coincide con su transpuesta.
(38b)
Se puede demostrar que:
(38c)
por lo tanto, el determinante de una matriz ortogonal es ± 1.
Son matrices ortogonales de cualquier rango (n,n). Forman grupos
O(n) O(n) es el conjunto de matrices ortogonales (n,n).
Consideremos las matrices:
(39)
Son matrices ortogonales, cuyo determinante es:
det ( g) = +1
Es un subgrupo del grupo ortogonal O(2), llamado "grupo ortogonal especial" SO(2).
Tenemos un grupo ortogonal O(3), compuesto por matrices ortogonales (3,3), cuyo determinante = ± 1. Posee un subgrupo SO(3) compuesto por matrices ortogonales cuyo determinante es + 1.
En cuatro dimensiones: tenemos el grupo ortogonal O(4) y su subgrupo: el grupo ortogonal especial SO(4).
n dimensiones: grupo ortogonal O(n), compuesto por matrices ortogonales (n,n), cuyo determinante es ± 1. Posee un subgrupo llamado ortogonal especial SO(n), limitado a las matrices ortogonales cuyo determinante es + 1.
Se puede demostrar que la dimensión de un grupo ortogonal es (40)
Aplicación al espacio de dos dimensiones: la dimensión del grupo es 1.
Aplicación al espacio de tres dimensiones, la dimensión del grupo es tres (los tres ángulos de Euler).
Aplicación al espacio de cuatro dimensiones, la dimensión se convierte en seis.
Hemos introducido el grupo especial euclidiano orientado SE(2):
(41)
Que combina rotaciones y traslaciones.
Denotemos:
(42)
Entonces podemos escribir la matriz y su acción sobre el espacio:
(43)
Nota:
(44)
En nuestro espacio plano de dos dimensiones, en nuestro plano, encontramos objetos como:
(45)
Al considerar estos objetos particulares:
(46)
pertenecen a una misma especie. Si tomo cualquier par de estos objetos, puedo encontrar un elemento del grupo que lleve el primero al segundo, y viceversa.
El segundo subconjunto de objetos:
(47)
pertenece a otra especie.
El tercero también:
(48)
Pero:
(49)
No puedo encontrar ninguna combinación de rotación más traslación c que me permita pasar de uno a otro.
¿Podemos modificar el grupo euclidiano orientado para hacer esto posible?
Índice Teoría de grupos dinámicos
Versión original (inglés)
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Orthogonal matrices. Orthogonal groups.
Take a square matrix a. The transposed matrix corresponds to the commutation of the terms which are symmetric with respect to the diagonal, as shown on the figure :
(38)
We write the inverse matrix a-1
It obeys :
a x a-1 = 1
Right now, we will no longer write the sign x and just write : a a-1 = 1 When two bold letters are side to side, we consider that it corresponds automatically to the multiplication of two matrixes.
An orthogonal matrix is a matrix whose inverse identifies to its transposed.
(38b)
One can show that :
(38c)
so that the determinant of an *orthogonal matrix *is ± 1 .
They are orthogonal matrixes of any rank ( n,n) . They form groups
O(n) O(n) is the set of orthogonal matrixes (n,n).
Consider matrixes :
(39)
They are orthogonal matrixes, whose determinant is :
det ( g) = +1
It is a sub-group of the orthogonal group O(2), which is called "special orthogonal group" SO(2).
We have an orthogonal group O(3), composed by (3,3) orthogonal matrixes, whose determinant = ± 1 . It owns a sub-group SO(3) composed by orthogonal matrixes whose determinant is + 1 .
In four dimensions : we have the orthogonal group O(4) and its sub-group : the special orthogonal group SO(4).
n dimensions : orthogonal group O(n), composed by (n,n) orthogonal matrixes, whose determinant is ± 1 . It owns a sub group, called Special orthogonal SO(n) limited to orthogonal matrixes whose determinant is + 1.
One can show that the dimension of an orthogonal group is (40)
Applying to two dimensional space : the dimension of the group is 1.
Applying to three dimensional space, the dimension of the group is three ( the three Euler's angles ).
Applying to four dimensional space, the dimension becomes six.
We have introduced the oriented Special Eulclid's group SE(2):
(41)
Which combined rotations and translation.
Call :
(42)
Then we can write the matrix and the action on space :
(43)
Remark :
(44)
In our 2d flat space, in our plane, we find objects like :
(45)
Considering these peculiar objects :
(46)
they belong to a species. If I take any couple of those object, I can find and element of the group which carries the first onto the second, and vice-versa.
The second sub-set of object :
(47)
belongs to another species.
The third, too :
(48)
But :
(49)
I cannot fing any combination rotation a plus translation c that put one on the other.
Can we modify oriented Euclid's group in order to make this possible ?