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Componentes de un grupo.
Hemos considerado dos grupos: SO(2) y O(2). El segundo contiene al primero.
El primero contiene el elemento neutro. Podemos representar los elementos del grupo de la siguiente manera:
(73) .
Los elementos de la primera componente forman un grupo (un subgrupo).
Los elementos de la segunda componente no forman un grupo, por muchas razones:
- No contiene el elemento neutro 1.
- Podemos elegir dos matrices en esta segunda componente cuyo producto no pertenece a esta segunda componente. Ejemplo:
(74)
La componente del grupo que contiene el elemento neutro 1 se llama
componente neutra del grupo.
En lo sucesivo consideraremos grupos con 2, 4 o 8 componentes.
El grupo de Euclides.
Ahora podemos integrar este grupo ampliado y enriquecido con la traslación en 2D, obteniendo:
(75)
y la acción correspondiente de este grupo de Euclides:
(76)
Supongamos que utilicemos nuestro grupo para manipular, gobernar y estudiar letras alfabéticas.
Restringimos el conjunto a las letras: A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Tenemos varios tamaños:
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Sabemos que no es posible encontrar ningún elemento del grupo, ni ninguna acción posterior del grupo, que pueda transformar:
G en G
porque sus tamaños son diferentes. Decidimos llamar a sus tamaños masas, de modo que G y G sean similares a partículas, objetos, átomos, que poseen masas distintas. Ahora, todo depende del grupo que actúa sobre este conjunto de objetos. Si uso:
(78)
supongamos que este "universo" está lleno por:
(79)
con un cierto espectro de tamaños (masas) y ángulos. Si aplico acciones del grupo, cualesquiera que sean, nunca encontraré objetos pertenecientes al alfabeto ruso:
(80)
Esto se volverá posible si uso el grupo enriquecido, el grupo de Euclides:
(80b)
Entonces mi "universo" se convertirá en:
(81)
El grupo ha enriquecido el "zoo" de letras. Pero en mi zoo, un elemento es invariante por simetría, es decir:
(82)
(83)
(84)
(85)
... En general, cualquier simetría respecto a una recta del plano, que es un "espejo 2D", no cambia la "naturaleza" de este carácter
(86)
Llamaré a este carácter un "fotón" y asimilaré la transformación
(87)
a la dualidad materia-antimateria. Entonces obtengo un zoo global:
(88)
Podríamos vincular letras de misma forma (naturaleza) pero de tamaños diferentes (que representan sus energías), utilizando el grupo de Descartes:
(89)
... Pero no construiremos un modelo análogo completo de partículas elementales basado en letras alfabéticas. En todo caso, ya empiezas a ver hacia dónde vamos. Los grupos tienen aspectos muy simples, pero propiedades ocultas. Estas propiedades dependen de sus subgrupos, que generan las especies.
... El grupo de Euclides va acompañado de un mundo euclidiano, con un zoo euclidiano. Los animales de la geometría euclidiana se llaman esfera, cilindro, prismas, plano, recta, triángulos, etc. Son invariantes bajo la acción de ciertos subgrupos. Souriau llama al subgrupo asociado a un objeto perteneciente a una especie, la regularidad de ese objeto.
Por ejemplo, las esferas centradas en un punto dado O son invariantes bajo la acción del subgrupo de rotaciones alrededor de ese punto.
-
Podemos considerar que el hecho de ser invariante es una propiedad de la especie llamada "esferas centradas en un punto O".
-
Inversamente, podemos considerar que esta propiedad define la especie.
Índice Teoría de grupos dinámicos
Versión original (inglés)
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Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
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Conversely we can consider that this property *defines *the species.