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Buscamos clasificar. La clasificación se basa en la definición de una especie.
Dos objetos que pertenecen a la misma especie tienen una propiedad común.
- Toma una esfera, una esfera particular.
- Observa el subgrupo del grupo grande (grupo de Euclides) que deja invariante esta esfera. Souriau llama a este subgrupo la regularidad de una esfera.
- Busca todos los objetos invariantes bajo la acción de este subgrupo. Encuentras todas las esferas centradas en un punto dado, incluida la esfera de radio cero: el punto.
Por tanto, el punto pertenece a la especie de las "esferas centradas en el origen".
Recíprocamente:
- Toma un punto en un espacio tridimensional.
- Observa el subgrupo del grupo de Euclides que deja invariante este punto. Encuentras el grupo ortogonal O(3).
- Busca entonces todos los objetos invariantes bajo la acción de los elementos de este subgrupo, bajo rotación alrededor de este punto. Encuentras todas las esferas centradas en este punto y concluyes que este punto y todas estas esferas pertenecen a una misma especie.
Objetos como una recta, un plano, un cilindro, etc., pueden "construirse" como una especie ligada a un subgrupo particular.
...En física queremos clasificar las partículas elementales. Pero no puedes tomar una partícula entre el pulgar y el índice y mirarla con una lupa. Solo puedes observar su comportamiento, su movimiento.
Dime cómo te mueves, te diré qué eres.
...Tengo un viejo amigo, Jean-Louis Philoche, que es un excelente jugador de ajedrez. Puede jugar a ciegas (en francés "jouer à l'aveugle", sin ver el tablero). Solo necesitas indicarle el movimiento de una pieza:
b1-c3
Para no jugadores:
(90) Movimiento del caballo
...Jean-Louis es capaz de memorizar todo esto en su cabeza. No sé cómo lo hace, pero funciona. Esto demuestra que las piezas de ajedrez no son necesarias para jugar (una computadora tampoco las necesita).
...Imagina que estás en una habitación y escuchas a dos vecinos jugando a "un juego cualquiera". No los ves, pero oyes cuando anuncian sus movimientos.
b2-b3 b7-b5 y así sucesivamente...
...Piensas: están moviendo algo. ¿Qué juego es? Toma un tablero, coloca pequeñas piedras sobre él y anota sus movimientos sucesivos en una hoja. Llamemos C al índice de columna y L al índice de fila. Un movimiento corresponde a:
( DC , DL )
Si |DC| ≤ 1 y |DL| ≤ 1: esto corresponde a un movimiento del rey.
Si |DC| = |DL|: esto corresponde a un movimiento del alfil (a lo largo de una diagonal).
Si |DC| × |DL| = 0: esto corresponde a un movimiento de torre.
Si |DC × DL| = 3: esto corresponde a un movimiento del caballo.
Si DL es estrictamente positivo: esto corresponde a un peón blanco. Si DL es estrictamente negativo: esto corresponde a un peón negro.
Y así sucesivamente. Construimos una clasificación de "objetos" basada en su comportamiento.
Otra imagen. Tienes una caja con tuercas mezcladas. Quieres clasificarlas. ¿Qué necesitas? Tuercas diferentes.
(91)
- Toma un perno.
- Busca la tuerca que le corresponde.
- Selecciona todos los pernos que encajan con esta tuerca. Obtienes una especie de pernos.
**Grupo ortogonal **O(3).
...Podemos extender lo dicho anteriormente en el contexto 2D al contexto 3D. Sabemos cómo realizar una rotación en un espacio tridimensional, respecto a un punto fijo, origen de coordenadas. Depende de tres ángulos a, b, g, llamados ángulos de Euler. No escribiremos una matriz así, simplemente la notaremos:
(92)
det (a) = +1
Se trata de una matriz ortogonal:
(92b)
...El grupo ortogonal O(3) está compuesto por todas las matrices ortogonales, incluidas aquellas cuyo determinante es igual a -1. Llamamos a estas matrices (93)
Como en la sección anterior, podemos obtener todas las matrices ortogonales a partir de SO(3) mediante:
(94)
L siendo la matriz diagonal:
(95)
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Todo esto es redundante. Pero hace aparecer inmediatamente las simetrías fundamentales.
(97)
(98)
(98b)
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Existen "matrices espejo" que invierten la orientación de los objetos, transformándolos en su imagen en un espejo:
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Da un ejemplo de objeto orientado cuya orientación se invierte mediante esta simetría espejo:
(101)
...Se trata de la superficie inventada por Werner Boy, estudiante de Hilbert. Se prestará especial atención a este objeto interesante en la sección del sitio dedicada a las matemáticas. Hemos eliminado una parte de la superficie para mostrar el punto triple T.
...Puedes llamar a cualquiera de estos objetos "derecho" o "izquierdo". Nadie ha indicado nunca cuál era el movimiento de rotación "derecho" de la superficie de Boy. De todos modos: ¿por qué hacer girar una superficie de Boy? Algunos afirman que puede volar, pero yo soy escéptico.
Siguiente:
(102)
(103)
(104)
...Como en geometría 2D (simetría respecto al origen), la simetría respecto al eje x es equivalente a una rotación de π. Finalmente:
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que cambia la orientación de los objetos.