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Sobre las componentes del grupo.
O(2) es un grupo compuesto por dos componentes:
- Su componente neutra (un subgrupo SO(2) que contiene el elemento neutro 1).
- El resto de los elementos.
Si formamos un grupo euclidiano de 2 dimensiones a partir de O(2):
(112)
este grupo tiene dos componentes. Su componente neutra está formada por los elementos de SO(2).
(113)
...Lo llamamos grupo euclidiano especial: con este grupo, no se puede invertir la orientación de una "letra", como R. El grupo euclidiano con sus dos componentes se llama grupo completo.
...Con respecto al grupo especial, subgrupo del grupo euclidiano completo:
(114)
pertenecen a dos especies distintas, ya que no se puede encontrar ningún elemento gEO de este grupo GSE (o SE(2)) que pueda transformar la primera letra en la segunda, y viceversa.
...Con respecto al grupo completo, estas dos letras pertenecen a la misma especie, ya que existe un elemento gE del grupo GE (simetría, que pertenece a la segunda componente) que puede transformar una de estas dos letras en la otra.
De manera similar, el grupo euclidiano de 3 dimensiones (el grupo euclidiano completo):
(115)
tiene dos componentes. La primera, la componente neutra, es un subgrupo formado por los elementos de SO(3):
(116)
...Lo llamamos esta componente neutra el grupo euclidiano especial SE(2). Con respecto a este grupo, una mano derecha y una mano izquierda pertenecen a especies distintas, ya que no existe ningún elemento gSE del grupo GSE que pueda transformar una mano izquierda en una mano derecha, y viceversa.
Con respecto al grupo completo, pertenecen a la misma especie.
Una breve observación:
Cuando un hombre mira su imagen en un espejo, ve que su mano izquierda y su mano derecha se intercambian. Pero ¿por qué su cabeza y sus pies no se intercambian también?
La respuesta la da el matemático francés J.M. Souriau:
(116b)
Otra observación, más técnica. A partir del grupo euclidiano orientado, es posible construir el grupo euclidiano completo, utilizando un escalar l = ± 1
(116c)
los elementos para los cuales l = - 1 pertenecen a la segunda componente e "invierten el espacio", transformando los objetos en sus imágenes enantiomorfas.
Extensión al grupo PT de 4 dimensiones.
Comencemos con el grupo ortogonal especial:
(118)
y luego construyamos el grupo PT mediante matrices (4,4):
(119)
Es un grupo de cuatro componentes (l = ± 1 ; m = ± 1).
Este grupo actúa en el espacio-tiempo mediante la siguiente acción:
(120)
Observemos que podríamos escribirlo:
(121)
Pero no cambia nada, ya que la acción fundamental no se modifica.
Entre estas cuatro componentes, tenemos la componente neutra, el grupo orientado en el espacio y en el tiempo.
(122)
Tenemos:
(123)
Observemos que:
(124)
gSOTO también es una matriz ortogonal. Las matrices ortogonales están definidas por esta propiedad axiomática.
...Observemos que vamos a utilizar ampliamente las propiedades axiomáticas de las matrices particulares, mucho más que las propias matrices. Con el grupo SO(2), hemos escrito explícitamente las matrices. Pero para SO(3) y O(3), no lo haremos, ya que no sería necesario ni útil, y haría los cálculos innecesariamente complejos. Es mucho más eficiente y elegante utilizar las propiedades axiomáticas de las matrices del grupo.
Anticipando, consideremos las matrices definidas por:
(125)
donde:
(126)
En forma de matriz diagonal:
(127)
Además:
(128)
Demuestre que estas matrices forman un grupo.
Considere:
(129)
y forme:
(130)
El producto de estas matrices de Lorentz generalizadas obedece al axioma.
Demuestre que la matriz inversa pertenece al grupo:
(131)
Calcule la matriz inversa.
(132) (132b)
corresponde al caso particular:
(132c)
...La forma de esta matriz corresponde a la métrica del espacio-tiempo (como veremos nuevamente, con las matrices de Lorentz, más adelante, al abordar el mundo relativista).
(133)
siendo un vector espacio-tiempo
El vínculo corresponde a la forma cuadrática elemental:
(134)
con:
(134b)
lo que da:
(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²
x° = ct siendo una "variable cronológica".
Esto corresponde a un espacio-tiempo euclidiano, donde la velocidad:
(136)
es ilimitada.
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