Un elemento gp del grupo de Poincaré Gp está definido por una secuencia de parámetros {pi}, cuyo número, ya lo hemos dicho, representa la dimensión del grupo. La matriz d**g (g = e) **está constituida por las cantidades {dpi}. La aplicación anterior es, por tanto, del tipo:
(81)
Es decir, a un conjunto de escalares dpi se le hace corresponder un número igual de escalares dpi'. La dualidad consiste en postular la invariancia de un escalar, según:
(82)
siendo n la dimensión del grupo (diez, para el grupo de Poincaré). Los escalares Ji representan las componentes del momento, del mismo número.
Decidiremos descomponer este momento **J **en dos objetos. El primero será una matriz M antisimétrica de tamaño (4,4), por lo tanto con seis componentes, y el segundo un "cuadrivector" P, matriz de tamaño (4,1):
(83)
(84) **J **= { M , p , E} = { M , P } Escribiremos el producto escalar en la forma:
(85)
Tr significando "traza de", y tendremos también:
(86)
forma lineal cuya invariancia asegura la dualidad.
con:
(87) (87b)
(87c)
pero GG = 1 por lo tanto esto vale:
(88)
Identifiquemos los términos en y (89)
Es decir:
(90)
----> Aquí también siguen detalles de cálculo matricial. Si lo desea, haciendo clic aquí puede ir directamente al resultado
En la traza se puede realizar una permutación cíclica de los términos.
(90a)
(90b)
(90c)
el segundo término del segundo miembro es igual al producto de una matriz fila por una matriz columna.
Esto es igual a la traza del producto invertido (a continuación, esquemáticamente, el producto de una matriz fila por una matriz columna):
(90d)
En esta traza, puedo operar una permutación cíclica:
(90e)
De donde:
(90f)
(90g)
Aquí aplicaremos nuevamente el teorema sobre las trazas de matrices que son el producto de otra matriz por una matriz simétrica.
Toda matriz puede ser simetrizada o antisimetrizada. Además, la traza del producto de una matriz por una matriz simétrica es nula.
(90h)
Puedo aplicar esto a la matriz (90i) ya que se toma la traza
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
pero:
(90l)
por lo tanto
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
y:
(90q)
finalmente:
(90r)
Agrupando y cambiando las primas de lado obtengo mi acción de grupo:
Imágenes
