Matemáticas geometría transformación superficies

Cómo transformar una superficie Cross Cap en una superficie de Boy (derecha o izquierda, a elección) pasando por la superficie romana de Steiner.

Italiano: Andrea Sambusetti, universidad de Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 de septiembre - 25 de octubre de 2003 **

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Esto, como diría Kipling, implica "gran astucia y magia".

Estoy jubilado pero, me atrevo a decirlo, hago un poco de investigación "a pesar mío", como otros lo hacen en su tiempo libre, tejiendo. Si tienen paciencia y se procuran cartulinas de 200 gr. cuadriculadas, podrán reconstruir ustedes mismos todos estos modelos. Mi amigo Christophe Tardy está construyendo, a partir de ellos, una animación que no debe quedar mal.

La superficie Cross Cap aparecerá en los dibujos que siguen, así como la superficie romana de Steiner. Pero pueden descubrirlas yendo a la sección Realidad Virtual, para ver la cual es necesario descargar el programa Cosmoplayer en su computadora. Háganlo, es realmente divertido. Todo se juega alrededor de los "puntos cuspídeos". Estos puntos se forman naturalmente cuando montas a caballo y aprietas fuerte las piernas. El cuerpo del caballo entonces quedará aplanado a lo largo de un segmento. La pierna derecha se pegará a lo largo de ese segmento a su hombro derecho, mientras que la pierna izquierda se pegará al hombro izquierdo. En cuanto al punto cuspídeo, no lo busquen: simplemente están sentados sobre él.

Pero todo esto está dibujado... redondeado. Pasemos a una "representación poliédrica" del punto cuspídeo (así como un cubo o un tetraedro pueden considerarse representaciones poliédricas de una simple esfera). El trazo en negrita representa la "curva de autointersección", que termina en el punto cuspídeo C.

Imprima estas tablas, es mejor. En lo sucesivo le será útil reconocer un punto cuspídeo en "configuraciones diferentes" y no confundirlo con un simple vértice del poliedro. Construya, si se siente con fuerzas, estos diferentes objetos con cartón, entenderá mejor. A continuación tenemos una operación esencial, llamada "creación-ruptura de un par de puntos cuspídeos". El primer dibujo representa una especie de cilindro que se autointerseca a lo largo del segmento dibujado en negrita, cuya sección recuerda a la letra griega gamma, invertida. Deformamos entonces esta superficie "apretando" el tubo cuya sección se parece a una "lágrima invertida". De esta manera, hacemos que esta "lágrima" se degenere en un punto S. Luego, este punto se divide dando lugar a dos puntos cuspídeos. Esta es la operación de creación de un par de puntos cuspídeos. La operación opuesta, por el contrario, destruye dos puntos cuspídeos. Inmediatamente debajo encontrará la versión poliédrica de esta operación.

A continuación, aquí hay otra representación poliédrica de la transformación, que se parece a lo que verá formarse en la superficie pronto.

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