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Grupo de traslaciones:
Consideremos un espacio 2D (x,y). En tal espacio, una traslación se define mediante un vector de traslación (Dx, Dy). Normalmente escribimos:
(27)
x' = x + Dx
y' = y + Dy
Para obtener los nuevos valores x' e y', utilizamos la suma. ¿Podríamos obtener los mismos resultados mediante una multiplicación?
Consideremos las siguientes matrices:
(28)
Observamos que están definidas por dos parámetros independientes, Dx y Dy. Por tanto, la dimensión del grupo es 2.
Forma:
(29)
Observamos que esto difiere fundamentalmente de la multiplicación matricial simple
(30)
g × r
Se trata de una acción particular del grupo.
(31)
Por otro lado, podemos considerar traslaciones en espacios de 3D o 4D. Las matrices cuadradas correspondientes, que forman grupos, son:
(32)
(33)
La acción correspondiente es:
(34)
El grupo de traslaciones es conmutativo. Su elemento neutro es la traslación nula.
Grupos de matrices: ¿por qué?
Con los grupos de matrices podemos combinar varias operaciones en una sola, en una única acción. Consideremos las siguientes matrices y la siguiente acción:
(35-1)
Combinamos dos cosas: una rotación (de ángulo a), más una traslación (Dx, Dy).
El elemento g del grupo G actúa sobre el espacio r = (x,y), no "directamente", sino a través de una acción más refinada.
Este grupo
(35-2)
llamado "grupo euclidiano especial SE(2)", actúa sobre el espacio 2D. Este nombre se explicará más adelante.
¿Cuál es su dimensión? Depende de tres parámetros libres: (a, Dx, Dy), por lo tanto su dimensión es tres. Podemos escribir:
g ∈ SE(a, Dx, Dy)
Subgrupos.
Para nosotros, un grupo es un conjunto de matrices cuadradas. Dentro de este conjunto podemos encontrar subconjuntos.
g ∈ SE(0, Dx, Dy) es el subgrupo de traslaciones.
g ∈ SE(a, 0, 0) es el subgrupo de rotaciones alrededor del origen 0.
g ∈ SE(0, Dx, 0) es el subgrupo de traslaciones paralelas al eje OX.
El grupo anterior transporta puntos. Estos puntos no tienen características particulares. Son simplemente... puntos, nada más.
Pero más adelante, otros grupos, que describen el mundo físico, transportarán puntos con características diferentes, "atributos": masa, energía, impulso, espín...
Con el grupo anterior, solo interesan los conjuntos de puntos para ser transportados. Aquí surge el concepto fundamental de:
Especies.
Nuestro primer grupo transporta objetos geométricos, que son conjuntos de puntos, figuras geométricas ("rígidas"). El conjunto más simple está formado por dos puntos. Consideremos pares de puntos en un espacio 2D:
(35-3)
En la figura (35-3) se han representado dos pares de puntos (A,B) y (A',B'). Puedo encontrar un elemento del grupo que transforme (A,B) en (A',B'): combinando una rotación alrededor del punto O y una traslación. Véase la figura (35-4).
(35-4)
Ahora consideremos los dos pares:
(35-5)
Es imposible encontrar un elemento g (matriz cuadrada) de mi grupo G que pueda transportar (A,B) sobre (A",B"). Diré que:
(A,B) y (A',B') pertenecen a una misma especie.
(A,B) y (A",B") pertenecen a especies diferentes.
La característica de una especie de pares de puntos se llama longitud.
Esta es la definición de longitud en términos de teoría de grupos.
¿Cómo puedes afirmar que dos segmentos tienen la misma longitud? Porque puedes compararlos, superponiendo uno sobre el otro.
En nuestro grupo, dos segmentos cuyas longitudes son diferentes pertenecen a especies diferentes, porque nuestro grupo no permite dilataciones ni contracciones (transformaciones homotéticas). El grupo encargado de ello es otro ("grupo especial cartesiano"):
(35-6)
Con respecto a este grupo, todos los pares de puntos pertenecen a la misma especie. La dimensión de este grupo es cuatro.
En lugar de dos puntos, podríamos considerar tres o cuatro puntos, estos últimos formando, por ejemplo, cuadrados.
(36)
Con respecto al grupo (35-1), los cuadrados cuyos lados tienen la misma longitud pertenecen a la misma especie. Pero si los lados de dos cuadrados son fundamentalmente diferentes:
(37)
pertenecen a especies diferentes.
Este grupo, que regula las traslaciones 2D y las rotaciones alrededor de un punto fijo en un plano, es el grupo euclidiano especial: SE(2).
Podemos imaginar fácilmente un grupo similar actuando sobre un espacio 3D. Los grupos de traslaciones 3D y 4D se dieron en (32) y (33).
Podemos imaginar fácilmente un grupo que describa traslaciones en un espacio de n dimensiones. Pero, ¿qué pasa con las rotaciones?
Podemos imaginar una rotación en un espacio 3D. Incluso podemos escribirla mediante una matriz que contiene tres ángulos, los ángulos de Euler: entonces su dimensión es tres.
Índice Teoría de grupos dinámicos