5
Simetrías.
(49b)
¿Qué significa esto?
Consideremos un grupo compuesto por cuatro elementos (un "grupo discreto").
(50)
que puedo escribir:
(51)
La acción correspondiente es:
(52)
Es claro que puede invertir la coordenada x, la coordenada y, o ambas.
Esquemáticamente:
(53)
(54)
(55)
(56)
Ahora podemos construir la matriz:
(57)
Podemos verificar que este conjunto de matrices forma un grupo.
Su determinante es:
(58)
det (
a
) = l m ( cos² a + sin² a ) = l m = ±1
Verifiquemos que la matriz inversa es:
(59)
(60)
(61)
Así:
(62)
de donde:
(63)
SO(2) (llamado grupo ortogonal especial) es un subgrupo de O(2) (llamado grupo ortogonal), y podemos formar las matrices
a
a partir de las matrices
a
por medio de:
(64)
Por cierto, muchas son redundantes. Por ejemplo, si
(64b)
(65)
lo que significa que cambiar ( x ---> -x ; y ---> -y ) es equivalente a una rotación de
p
. Véase la figura siguiente.
(66)
Sabemos que las matrices:
(67)
corresponden a una simple rotación alrededor del origen de coordenadas O.
¿Cuál es el significado de las matrices más generales:
(68)
A partir de:
(69)
sabemos que
a
corresponde a dos operaciones combinadas:
-
Una simetría con respecto al eje OX, o al eje OY, o a ambos.
-
Una rotación a alrededor del origen de coordenadas.
(70)
En la figura se muestra la sucesión de las dos operaciones
( M1 ----> M4 )
Es claro que es equivalente a una simetría con respecto a una recta que pasa por O
(71)
Hemos enriquecido el "grupo ortogonal especial" SO(2) que provenía del "grupo ortogonal" O(2). Descubrimos entonces que este grupo extendido contiene simetrías especulares: todas las simetrías con respecto a rectas que pasan por el origen de coordenadas O.
(72)
Índice Teoría de grupos dinámicos
Versión original (inglés)
5
Symmetries.
(49b)
What does it mean ?
Consider a group composed by four elements ( a "discrete group" ).
(50)
that I can write :
(51)
The corresponding action is :
(52)
Clearly it may reverse the x coordinate, the y coordinate, or the two.
Schematically :
(53)
(54)
(55)
(56)
Now we may build the matrix :
(57)
We can check such set of matrixes form a group.
Their determinant is :
(58)
det (
a
) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
Check the inverse matrix is :
(59)
(60)
(61)
So that :
(62)
whence :
(63)
SO(2) (called special orthogonal group) is a sub-group of O(2) (called orthogonal group) and we may form the matrixes
a
from the matrixes
a
through :
(64)
By the way, many are redundant. For an example, if
(64b)
(65)
which means that changing ( x ---> - ; y ---> -y ) is equivalent to a rotation of
p
. See next figure.
(66)
We know that matrixes :
(67)
correspond to a simple rotation around the center of coordinates O.
What is the meaning of more general matrixes :
(68)
From :
(69)
we know that
a
corresponds to two combined operations :
-
A symmetry with respect
to axis OX , or OY , or both. -
A rotation a
around the center of coordinates.
(70)
On the figure is shown the succession of the two operations
( M1 ----> M4 )
It is clear that it is equivalent to a symmetry with respect to a straight line passing by O
(71)
We have enriched the "special orthogonal group " SO(2) which began the "orthogonal group" O(2). Then we discovers that this extended group contains mirror-symmetries : all the symmetries with respect to straight lines passing by the origin of coordinates O.
(72)
Index Dynamic Groups Theory