6
Componentes de un grupo.
Hemos considerado dos grupos: SO(2) y O(2). El segundo contiene al primero.
El primero contiene el elemento neutro. Podemos representar los elementos del grupo de la siguiente manera:
(73)
.
Los elementos de la primera componente forman un grupo (un subgrupo).
Los elementos del segundo grupo no forman un grupo, por varias razones:
-
No contiene
el elemento neutro 1. -
Podemos elegir dos matrices de esta segunda componente cuyo producto no pertenece a esta segunda componente. Ejemplo:
(74)
La componente del grupo que contiene el elemento neutro
1
se llama
la componente neutra del grupo.
En lo sucesivo consideraremos grupos con 2, 4 y 8 componentes.
El grupo de Euclides.
Ahora podemos integrar este grupo ampliado y enriquecido con la traslación en 2D, obteniendo:
(75)
y la acción correspondiente de este grupo de Euclides:
(76)
Supongamos que utilizáramos nuestro grupo para manipular, gobernar y estudiar las letras del alfabeto.
Limitemos el conjunto a:
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Tenemos varios tamaños:
(77)
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Sabemos que no podemos encontrar ningún elemento del grupo, ni ninguna acción posterior de un grupo, capaz de transformar:
G en G
porque sus tamaños son diferentes. Decidimos llamar a sus tamaños
masas
para que G y G sean análogos a partículas, objetos o átomos con masas distintas.
Ahora bien, depende del grupo que actúe sobre este conjunto de objetos. Si utilizo:
(78)
supongamos que este "mundo" esté lleno de:
(79)
con un cierto espectro de tamaños (masas) y ángulos. Si realizo acciones de grupo, cualesquiera que sean, nunca encontraré objetos que pertenezcan al alfabeto ruso:
(80)
Será posible si utilizo el grupo enriquecido, el grupo de Euclides:
(80b)
Entonces mi "mundo" se convertirá en:
(81)
El grupo ha enriquecido el "zoológico" de letras. Pero en mi zoológico, una letra es invariante por simetría, es decir:
(82)
(83)
(84)
(85)
En general, cualquier simetría respecto a cualquier recta del plano, es decir un "espejo 2D", no modifica la "naturaleza" de este carácter
(86)
Llamaré a este carácter un "fotón" y asimilaré la transformación
(87)
a la dualidad materia-antimateria. Así obtengo un zoológico global:
(88)
Podríamos vincular letras de misma forma (naturaleza) pero tamaños diferentes (representando sus energías), utilizando el grupo de Descartes:
(89)
Pero no construiremos un modelo análogo completo de partículas elementales basado en caracteres alfabéticos. En todo caso, ya empiezas a entrever hacia dónde vamos. Los grupos tienen aspectos muy simples, pero poseen propiedades ocultas. Estas propiedades dependen de sus subgrupos, que generan
las especies.
El grupo de Euclides va acompañado de un mundo euclidiano, de un zoológico euclidiano. Los animales de la geometría euclidiana se llaman esfera, cilindro, prismas, plano, recta, triángulos, etc. Son invariantes bajo la acción de cierto subgrupo. Souriau llama subgrupo ligado a un objeto perteneciente a una especie la
regularidad
de ese objeto.
Por ejemplo, las esferas centradas en un punto dado O son invariantes bajo el subgrupo de rotaciones alrededor de ese punto.
-
Podemos considerar que
el hecho de ser invariante es una propiedad de la especie llamada "esferas centradas en un punto O". -
Recíprocamente, podemos considerar que
esta propiedad
define
la especie.
Índice Teoría Dinámica de Grupos