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Buscamos clasificar. La clasificación se basa en la definición de una especie.
Dos objetos que pertenecen a la misma especie tienen una propiedad común.
-
Tome una esfera, una esfera particular.
-
Mire el subgrupo del gran grupo (grupo de Euclides) que deja invariante esta esfera. Souriau llama a este subgrupo la
regularidad
de una esfera.
- Busque todos los objetos que son invariantes bajo la acción de este subgrupo. Encuentra todas las esferas centradas en un punto dado, incluyendo la esfera de radio cero: el punto.
Entonces el punto pertenece a la especie de las "esferas centradas en el origen".
Recíprocamente:
-
Tome un punto del espacio tridimensional.
-
Mire el subgrupo del grupo de Euclides que deja invariante este punto. Encuentra el grupo ortogonal O(3).
-
Luego busque todos los objetos que son invariantes bajo la acción de los elementos de este subgrupo, bajo rotación alrededor de este punto. Encuentras todas las esferas centradas en este punto y concluyes que este punto y todas estas esferas pertenecen a una misma especie.
Objetos como una recta, un plano, un cilindro, etc., pueden ser "construidos" como una especie vinculada a un cierto subgrupo particular.
En física, queremos clasificar las partículas elementales. Pero no puedes tomar una partícula entre tu pulgar y tu índice y observarla con una lupa. Solo puedes observar su comportamiento, su
movimiento
.
Dime cómo te mueves, te diré qué eres.
Tengo un viejo amigo, Jean-Louis Philoche, quien es un excelente jugador de ajedrez. Puede jugar a ciegas (en francés "jugar a ciegas", sin ver el tablero). Solo tienes que indicarle el movimiento de una pieza:
b1-c3
Para no jugadores:
(90)
Movimiento del caballo
Jean-Louis es capaz de memorizar todo esto en su cabeza. No sé cómo lo hace, pero funciona. Esto demuestra que las piezas de ajedrez no son necesarias para jugar (un ordenador no las necesita).
Imagina que estás en una habitación y escuchas a dos vecinos que juegan a "un juego". No los ves, pero escuchas cuando anuncian sus movimientos.
b2-b3
b7-b5
y así sucesivamente...
Piensas: están moviendo algo. ¿Cuál es ese juego? Toma un tablero, coloca piedras pequeñas sobre él y anota sus movimientos sucesivos en una hoja. Llamemos C al índice de columna y L al índice de fila. Un movimiento corresponde a:
( D C , D L )
Si |DC| = 1 y |DL| = 1: esto corresponde a un movimiento del rey.
Si |DC| = |DL|: esto corresponde a un movimiento del alfil (a lo largo de una diagonal).
Si |DC| × |DL| = 0: esto corresponde a un movimiento de la torre.
Si |DC × DL| = 3: esto corresponde a un movimiento del caballo.
Si DL es estrictamente positivo, esto corresponde a un peón blanco. Si DL es estrictamente negativo, corresponde a un peón negro.
Y así sucesivamente. Construimos una clasificación de "objetos"
basada en su comportamiento
.
Otra imagen. Tienes una caja con tornillos mezclados. Quieres clasificar estos tornillos. ¿Qué necesitas? Tuercas diferentes.
(91)
-
Toma un tornillo.
-
Busca la tuerca que le corresponde.
-
Selecciona todos los tornillos que encajan en esta tuerca. Obtienes una especie de tornillos.
Grupo ortogonal
O(3).
Podemos extender lo dicho anteriormente en el contexto 2D al contexto 3D. Sabemos cómo realizar una rotación en un espacio 3D, con respecto a un punto fijo, origen de coordenadas. Depende de tres ángulos a, b, g, llamados ángulos de Euler. No escribiremos tal matriz, pero la notaremos simplemente:
(92)
det ( a ) = + 1
Se trata de una matriz ortogonal:
(92b)
El grupo ortogonal O(3) está compuesto por todas las matrices ortogonales, incluidas aquellas cuyo determinante es -1. Llamamos a estas matrices (93)
Como en la sección anterior, podemos obtener todas las matrices ortogonales a partir de SO(3) mediante:
(94)
L siendo la matriz diagonal:
(95)
(96)
Todo esto es redundante. Pero inmediatamente muestra las simetrías fundamentales.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Existen "matrices de espejo" que invierten la orientación de los objetos, transformándolos en su imagen en un espejo:
(100)
Dame un ejemplo de objetos orientados cuya orientación es invertida por esta simetría de espejo:
(101)
Se trata de la superficie inventada por Werner Boy, estudiante de Hilbert. Se prestará atención a este objeto interesante en la sección del sitio dedicada a las matemáticas. Hemos quitado una parte de la superficie para mostrar el punto triple T.
Puedes llamar a cualquiera de estos objetos "derecho" o "izquierdo". Nadie ha indicado nunca cuál era el movimiento de rotación "derecho" de la superficie de Boy. De todos modos: ¿por qué hacer girar una superficie de Boy? Algunos dicen que puede volar, pero soy escéptico.
A continuación:
(102)
(103)
(104)
Como en geometría 2D (simetría con respecto al origen), la simetría con respecto al eje x es equivalente a una rotación de
p
.
Finalmente:
(105)
que modifican la orientación de los objetos.
Índice Teoría de Grupos Dinámicos
Versión original (inglés)
7
We search to classify. Classification is based on the defnition of species.
Two objects which belong to the same species have some common property.
-
Take a sphere, a peculiar sphere.
-
Look at the sub-group of the grand group ( Euclid's group ) which keeps this sphere invariant. Souriau calls such sub-group the
regularity
of a sphere.
- Search all the objects which are invariant through the action of this sub-group. You find all the spheres centered on a given point, Including the zero-radius shere : the point.
Then the point belongs to the species of "spheres centered around the origin".
Conversely :
-
Take a point of a three-dimensional space.
-
Look at the sub-group of Euclid's group which keeps this point invariant. You find the orthogonal group O(3).
-
Then search all the objects which are invariant through the action of the elements of this sub-groups, under rotation around this point. You find all the spheres centered on this point and conclude that this point and all these spheres belong to a same species.
Objects like a straight line, a plane, a cylinder, etc..... can be "built" as a species linked to some peculiar sub-group.
In physics we want to classify elementary particles. But you cannot take a particle between your thumb and index and look at it through a magnifying glass. The just can observe its behaviour, its
movement
.
Tell be how you move, I will tell you what you are.
I have an old good friend, Jean-Louis Philoche, who is a fine chess player. He can play blind ( en français "jouer à l'aveugle", sans voir l'échiquier ). . You just have to indicate to him the movement of a piece ( une pièce de jeu ) :
b1-c3
For non-players :
(90)
Horse's move
Jean-Louis is able to memorize all that in his head. I don't know how he does, but it works. It proves that chess pieces are not necessary to play ( a computer does not use it ).
Imagine you are in a room and you hear two neighbourings who play "some game". You don't see them but you hear when the announce their moves.
b2-b3
b7-b5
and so on.....
You think : they move something. What's the game ? You take a boad, put small stones on it, and notice their successive moves on a sheet of paper. Call C the column indix and L the line indix. A move corresponds to :
( D C ,
D L )
If I DC I ? 1 and I DL I ? 1 : This refers to a king's move.
If I DC I = I DL I: this refers to a bishop's move ( along a diagonal ).
If I DC I x I DL I = 0 : This refers to a tower's move.
If I DC x DL I = 3 : this refers to a horse's move.
If DL is strictly positive, this refers to white pawn. If is strictlty negative, it refers to a black pawn.
An so on. We build a classification of "objects"
based on their behaviour
.
Another image. You have a box, with mixed bolts. You want to classify these bolts. What to you need ? Different nuts.
(91)
-
Take a bolt.
-
Search the nut that fits it.
-
Select all the bolts that fit this nut. You get a species of bolts.
Orthogonal group
O(3).
We can extend what was said above in 2d to 3d context. We know how to make a rotation in a 3d space, with respect to a fixed point, origine of coordinates. It depends on three angles a , b , g , called Euler's angles. We won't write such a matrix, just write it :
(92)
det (
a
) = + 1
It is an orthogonal matrix :
(92b)
The orthogonal group O(3) is composed by all orthogonal matrixes, including those whose determinant is = - 1 . We call these matrixes (93)
As in preceding section we can obtain all the orthogonal matrixes, from the SO(3), through :
(94)
Lbeing the diagonal matrix :
(95)
(96)
All this is redundant. But it makes appear immediatly the basic symmetries.
(97)
(98)
(98b)
(99)
There are "mirror matrixes" which reverse the orientation of the objects, transform these objects into their image in a mirror :
(100)
Give an example of oriented objects, whose orientation is reversed through this mirror symmetry :
(101)
This is the surface invented by Werner Boy, a student of Hilberth. Attention will be paid to this interesting object in the section of the site devoted to mathematics. We have removed a portion of the surface in order to show the triple point T.
You can call any of these object "right" or "left". Nobody has never indicated what was the right rotation movement of of Boy's surface. Anyway : to make a Boy's surface to turn : why ? Some pretend it can fly, but I am skeptical.
Next :
(102)
(103)
(104)
As in 2d geometry (symmetry with respect to the origin ) the symmetry with respect to ax axis is equivalent to a rotation of
p
.
Finally :
(105)
which change the orientation of objects.
Index Dynamic Groups Theory