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Acerca de las componentes del grupo.
O(2) es un grupo compuesto por dos componentes:
-
Su componente neutra
( un subgrupo SO(2) que contiene el elemento neutro 1 ). -
El resto de los elementos.
Si formamos un grupo euclidiano en dos dimensiones a partir de O(2):
(112)
este grupo posee dos componentes. Su componente neutra se construye a partir de los elementos de SO(2).
(113)
Lo llamamos
grupo especial
euclidiano: con este grupo no se puede invertir la orientación de una "letra", como R.
El grupo euclidiano que posee sus dos componentes se denomina el
grupo completo
.
En relación con el grupo especial, subgrupo del grupo euclidiano completo:
(114)
pertenecen a dos especies distintas, ya que no se puede encontrar ningún elemento
g
EO
de este grupo GSE (o SE(2)) que permita transformar la primera letra en la segunda, y viceversa.
En relación con el grupo completo, estas dos letras pertenecen a la misma especie, ya que existe un elemento
g E
del grupo G
E (simetría, que pertenece a la segunda componente) que puede transformar una de estas dos letras en la otra.
Del mismo modo, el grupo euclidiano en tres dimensiones (el "grupo completo" euclidiano):
(115)
posee dos componentes. La primera, la
componente neutra
, es un subgrupo formado por los elementos de SO(3):
(116)
Llamamos a esta componente neutra el grupo euclidiano especial SE(3). En relación con este grupo, una mano derecha y una mano izquierda pertenecen a especies distintas, ya que no existe ningún elemento
g
SE
del grupo G
SE
que pueda transformar una mano izquierda en mano derecha, y viceversa.
En relación con el grupo completo, pertenecen a la misma especie.
Observación breve:
Cuando una persona mira su imagen en un espejo, ve que su mano izquierda y su mano derecha están intercambiadas. ¿Pero por qué su cabeza y sus pies no están también intercambiados?
La respuesta la proporciona el matemático francés J.M. Souriau:
(116b)
Otra observación, más técnica. A partir del grupo euclidiano orientado es posible construir el grupo euclidiano completo, utilizando un escalar l = ± 1
(116c)
los elementos para los cuales l = -1 pertenecen a la segunda componente y "invierten el espacio", transforman los objetos en sus imágenes enantiomórficas.
Extensión al grupo PT en 4D.
Partamos del grupo ortogonal especial:
(118)
y luego construyamos el grupo PT mediante matrices (4,4):
(119)
Se trata de un grupo de cuatro componentes (l = ± 1; m = ± 1).
Este grupo actúa sobre el espacio-tiempo a través de la siguiente acción:
(120)
Obsérvese que podríamos escribirlo:
(121)
Pero no cambia nada, ya que la acción fundamental no se modifica.
Entre estas cuatro componentes tenemos la componente neutra, el grupo
(orientado en el espacio, orientado en el tiempo).
(122)
Tenemos:
(123)
Obsérvese que:
(124)
g
SOTO
es también una matriz ortogonal. Las matrices ortogonales se definen mediante esta propiedad axiomática.
Obsérvese que vamos a utilizar ampliamente las propiedades axiomáticas de ciertas matrices, mucho más que las propias matrices. Para el grupo SO(2) hemos escrito explícitamente las matrices. Pero para SO(3) y O(3) no lo haremos, ya que no sería necesario y complicaría innecesariamente los cálculos. Es mucho más eficiente y elegante utilizar las propiedades axiomáticas de las matrices del grupo.
Anticipando, consideremos las matrices definidas por:
(125)
donde:
(126)
En forma de matriz diagonal:
(127)
Además:
(128)
Demuestre que estas matrices forman un grupo.
Considere:
(129)
y forme:
(130)
El producto de tales matrices de Lorentz generalizadas obedece entonces al axioma.
Demuestre que la matriz inversa pertenece al grupo:
(131)
Calcule la matriz inversa.
(132)
(132b)
corresponde al caso particular:
(132c)
La forma de esta matriz corresponde a la métrica del espacio-tiempo (como veremos nuevamente, con las matrices de Lorentz, más adelante, al abordar el mundo relativista).
(133)
siendo un vector espacio-tiempo
El vínculo corresponde a la forma cuadrática elemental:
(134)
con:
(134b)
lo que da:
(135)
ds² = dx⁰² + dx² + dy² + dz²
x⁰ = ct siendo una "variable cronológica".
Esto corresponde a un espacio-tiempo euclidiano, donde la velocidad:
(136)
no está limitada.
Índice Teoría de Grupos Dinámicos
Versión original (inglés)
9
About components of the group.
O(2) is a group composed by two components :
-
Its neutral component
( a sub-group SO(2) which contains the neutral element 1 ). -
The rest of the elements.
If we form a 2d Euclid'd group from O(2) :
(112)
this group owns two components. Its neutral component is built with the SO(2) element.
(113)
We call it
Special
Euclid's group : we cannot, with this group, reverse the orientation of a "letter", like R.
The Euclid's group with its two components is called the
complete group
.
With respect to the special group, sub-group of the complete Euclid's group :
(114)
belong to two distinct species, because we cannot find any element
g
EO
of this group GSE ( or SE(2) ) which can change the first letter into the second, and vice-versa.
With respect to the complete group, these two letters belong to the same species, for there is an element
g E
of the group G
E ( symmetry, which belong to the second component ) which can change one of these two letters into the other.
Similarly the 3d Euclid's group ( the "complete" Euclid's group ) :
(115)
has two components. The first, the
neutral
one, is a sub-group formed with the element of SO(3) :
(116)
We call this neutral component the Special Euclid's group SE(2). With respect to this group a right hand and a left hand belong to distinct species, for there is no element
g
SE
of G
SE
which can transform a left hand into a right hand, and vice-versa.
With respect to the complete group they belong to the same species.
A short remark :
When a man looks at his image in a mirror, he sees that his left hand and raight hand are exchanged. But why his head and feet are not exchanged too ?
The answer is given by the french mathematician J.M. Souriau :
(116b)
Another remark, more technical. From the oriented Euclid's group it is possible to build the complete Euclid's group, using a scalar l = ± 1
(116c)
l = - 1 terms of the group belong to the second component and "reverse space", transform objects into their enantiomorphic image.
Extension to 4d PT-group.
Let us start from the special orthogonal group :
(118)
and then build the PT-group through (4,4) matrixes :
(119)
It is a four-components group ( l = ± 1 ; m = ± 1 ).
This group acts on space time through the following action :
(120)
Notice we could write it :
(121)
But it does not change anything, for the basic action is not changed.
Amont these four components we have the neutral component, the ( Space oriented , time-oriented group ).
(122)
We have :
(123)
Notice that :
(124)
g
SOTO
is also an orthogonal matrix. Orthogonal matrixes are defined through this axiomatric property.
Notice that we are largely going to use the axiomatic properties of peculiar matrixes, much more than the matrixes themselve. With teh SO(2) group we have written the matrixes explicitely. But for SO(3) and O(3) we won't, for it will not be not necessary and would make the calculations unecessarly complicated. It is much more efficient and elegant to use the axiomatic properties of the matrixes of the group.
Anticipating, consider the matrixes defined by :
(125)
where :
(126)
As a diagonal matrix :
(127)
In addition :
(128)
Show that these matrixes form a group.
Consider :
(129)
and form :
(130)
Then the product of such
generalized Lorentz matrixes
obeys the axiom.
Show that the inverse matrix belongs to the group :
(131)
Compute the inverse matrix.
(132)
(132b)
corresponds to peculiar case :
(132c)
The form of this matrix corresponds to the metric of space-time (as will be considered again, with Lorentz-matrixes, further, dealing with relativistic world).
(133)
being space-time vector
The link corresponds to the elementary quadratic form :
(134)
with :
(134b)
this gives :
(135)
ds 2
= dx°
2
-
dx 2
-
dy 2
-
dy 2
x° = ct being a "chronological variable".
This corresponds to a euclidean space-time, where the velocity :
(136)
is unlimited.
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