Mathematische Kosmologie und Polyedertheorie
... Dies ist ein Monodron, das ich an einem Regentag erfunden habe. Wenn man genau hinsieht, handelt es sich um einen Polyeder mit nur einer Fläche und nur einer Seite. Wenn man an einem Punkt der einzigen Fläche einen Normalenvektor nimmt und diesen einmal herumführt, kehrt er zurück, wobei er eine Drehung um 90° erfahren hat. Er erstellt seine ursprüngliche Position erst nach vier Umdrehungen.
... Ich hatte die obige Zeichnung „aus Spaß“ im Kopf entworfen. Heute gibt es jedoch Programme, die solche Objekte verarbeiten können. Wer bereits heruntergeladen (kostenlos) Cosmo Player hat oder dies beabsichtigt, kann sich das Werk meines Freundes Christophe Tardy an diesem Monodron anschauen. Inzwischen habe ich die einzige Kante des Objekts mit einer Zeichner-Code-Simulation neu erstellt, wie sie aus einem seiner Bilder extrahiert wurde. Soweit mir bekannt ist, gibt es derzeit kein Programm, das gestrichelte Linien zur Darstellung verdeckter Teile und Unterbrechungen von Strichen verwendet. Man könnte jedoch genauso gut einen helleren Farbton verwenden.
... Auf jeden Fall haben wir hier eine einzige Kante, ohne einen einzigen Eckpunkt.
... Mathematische Kuriosität? Vielleicht. Wenn Sie sich bereits meine wissenschaftlichen Arbeiten oder deren populärwissenschaftliche Einführung angesehen haben, wissen Sie vielleicht, dass ich ein kosmologisches Modell „mit zwei Blättern“ entwickle, dessen ursprüngliche Idee von André Sakharov (1967) stammt. Zusätzlich haben diese beiden „Seiten des Universums“ entgegengesetzte Zeitkoordinaten. Diese Frage nach der Zeit oder „den“ Zeiten bleibt weiterhin schwierig. Dieses Wort ist besonders schwer zu fassen. Was ist die „Pfeil der Zeit“? Kann man von „zwei antiparallelen Zeitpfeilen“ sprechen? (Das war Sakharovs ursprüngliche Vorstellung.)
... In meiner Arbeit, die ich 1994 in der Zeitschrift Nuovo Cimento veröffentlichte, hatte ich die Idee erwogen – ursprünglich 1988 von Linde vorgeschlagen –, dass diese „zwillingsartigen“ Regionen tatsächlich „antipodale Regionen“ sein könnten. In diesem Fall wären diese beiden Zwillinguniversen (im Gegensatz zu Linde interagieren meine beiden Universen miteinander über das Gravitationsfeld, während seine sich völlig ignorieren). Sie sind also „zugleich zwei und eins“. Ein Mathematiker würde sagen, dass diese Struktur einem zweiblättrigen Überlagerung entspricht (die Sphäre S2 ist die zweiblättrige Überlagerung einer Boyfläche). In Nuovo Cimento betrachtete ich die zweiblättrige Überlagerung eines projektiven P3 (äquivalent einer dreidimensionalen Boyfläche), wobei antipodale Regionen einer Hypersphäre S3 zusammengebracht wurden. Doch ich habe stets gedacht, dass es tatsächlich die Überlagerung eines projektiven P4 sein könnte, bei der antipodale Regionen einer Hypersphäre S4 zusammengebracht werden. In diesem Fall würde die Interaktion zweier „benachbarter“ Regionen dieses gleichzeitig ein- und zweifachen Kosmos antipodale Regionen (auf dieser Hypersphäre S4) „zusammenbringen“, die nicht nur enantiomorph (spiegelbildlich, P-symmetrisch) sind, sondern auch T-symmetrisch, also „mit entgegengesetzten Zeitpfeilen“. Hier trifft man wieder auf die Idee von Andrei Sakharov.
... Der Monodron ist ein Bild (didaktisch) eines vierblättrigen Kosmos, eines „Cosmoeders“. Ein Kosmos, der „zugleich eins und vier“ ist. Vier solche „benachbarten“ Regionen würden miteinander interagieren. Doch welche wären diese Regionen? Wo müsste man sie auf einer solchen Figur „ablesen“? Die senkrechte Schnittfläche des Monodrons (einfache didaktische Abbildung) ist ein einfacher Quadrat (da es durch Drehung dieses Quadrats erzeugt wird, siehe die virtuelle Realität von C. Tardy). Diese vier Seiten des Quadrats repräsentieren vier Regionen des Kosmos, die in Konjugation stehen. Man kann dann zumindest lokal von einer „vierblättrigen Überlagerung“ sprechen. Wenn man den Normalenvektor zur Oberfläche des Monodrons mit dem Zeitpfeil identifiziert, dreht sich dieser gleichzeitig mit dem erzeugenden Quadrat. Die vier Teile des Universums hätten also „kreuzförmige“ Zeitpfeile, die paarweise antiparallel sind:
... Man kann dies auch so beschreiben, dass es zwei Paare von Zwillinguniversen gibt, deren Zeitpfeile paarweise antiparallel sind. Es ist so etwas wie:
( Sakharov )²
... Warum eine solche Komplizierung? Ist das nur eine neue geometrische Spielerei? Hmmmm... Ich möchte Ihnen sagen, was mir im Kopf herumgeht. Als ich das Modell mit zwei Zwillinguniversen aufbaute, zeigte ich, dass das zweite Universum eine Materie beherbergen könnte, die unserer völlig analog ist, mit ihren Protonen-Zwillingen, Elektronen-Zwillingen, Photonen-Zwillingen usw. (ob man nun das von Sakharov vorgeschlagene Wort „Zwilling“ oder das in der Welt der Superstrings beliebtere „Ghost“ (Geist) verwendet). Ich zeigte auch, dass die Umkehrung der Zeit tatsächlich der Umkehrung der Masse und damit der Energie entspricht.
... Linde war ein Schüler von Sakharov. Ich hatte 1983 in Moskau in einem Zimmer des Hotels National lange mit ihm diskutiert, wo er mich besucht hatte. 1988 erwähnte er einen doppelten Kosmos, bei dem die beiden Materien entgegengesetzte Energien hätten. Als er jedoch die Probleme erkannte, die sich aus der Koexistenz dieser beiden Materien im selben Raum-Zeit-Bereich ergeben könnten, verbannte er die „andere Materie“ mit negativer Energie an die Antipoden. Doch dabei bemerkte er nicht, dass er hier wieder die Idee seines Lehrers Sakharov (mit entgegengesetzten Zeiten) wiederentdeckte – denn (J.M. Souriau 1972) ist das Umkehren der Zeit oder das Umkehren von Masse und Energie dasselbe. ... Wenn Sie den Mut oder die Kompetenz haben, die Arbeiten von Geometrical Physics B zu lesen, werden Sie sehen, dass auch im Zwillinguniversum eine Dualität zwischen Materie und Antimaterie besteht. Nicht nur gibt es eine Zwillingsmaterie, sondern auch in diesem zweiten Universumsaspekt existiert eine Zwillingantimaterie.
... Alles dies kann auf einen vierblättrigen Kontext erweitert werden. Man würde dann eine imaginäre Materie und eine imaginäre Zwillingsmaterie erhalten (mit rein imaginären Zeitpfeilen im Vergleich zu uns, die paarweise antiparallel sind).
... Problem: Wie würde diese imaginäre Materie mit unserer interagieren? Ich muss zugeben, dass ich im Moment keine Ahnung habe, aber ich werde schon etwas finden. Die Geometrie ist eine Welt voller verschiedenartiger Fäden. ... Lassen Sie uns kurz über diese Idee nachdenken. Was ist diese imaginäre Welt im Vergleich zu unserer? Etymologisch betrachtet ist es ein Metawelt. ... Das Werkzeug des theoretischen Physikers und Kosmologen, das nichts anderes ist als das eines guten Geometers, ermöglicht es (wie Linde 1988 bemerkte), „parallele Welten“ zu betrachten, die mit Teilchen bevölkert sind, die entweder unseren identisch sind, oder deren Spiegelbilder (P-Symmetrie), oder deren Doppelgänger mit negativer Energie (T-Symmetrie), oder sogar beides gleichzeitig. An diesem Punkt, warum nicht einfach den Schritt wagen und Teilchen mit rein imaginären Parametern (Masse, Ladung, Zeitpfeil usw.) in Betracht ziehen? Das führt zur Idee einer Metawelt, die ebenfalls aus Teilchen bestehen könnte, die einer rein imaginären Physik gehorchen, die uns vielleicht ähnlich ist und dann als Metaphysik bezeichnet werden könnte.
... Ich weiß nicht mehr, welcher Philosoph einmal sagte: „Die Metaphysik ist ein großes Meer, und um es zu überqueren, haben wir weder Boot noch Segel.“ Ist diese Aussage eine endgültige Verurteilung? Überlegen wir. Vor nicht allzu langer Zeit galt „das Lebendige“ als „Sache Gottes oder der Natur“, bis jemand (Wöhler 1828) Harnstoff synthetisieren konnte. Zugegeben, die Dinge haben sich seitdem erheblich verändert. ... Wenn wir paraphrasieren: Könnten „Gott“ oder „Natur“ in Gleichungen gefasst, durch die Geometrie, Gruppentheorie und Feldtheorie eingefangen werden (oder in einem Netz aus Superstrings verankert werden, je nach Wahl)?
... Ich glaube, es ist nichts grundsätzlich zu verbieten, aber man sollte Mut und Bescheidenheit miteinander verbinden. In Bezug auf die Biologie geben uns die beeindruckenden Erfolge der letzten Jahrzehnte die Illusion, dass wir unglaublich viel können, dass „erhebliche Fortschritte gemacht wurden“ und dass wir bald alles über dieses Phänomen namens „Leben“ wissen werden (das ist die Sichtweise des ewigen Optimisten Joël de Rosnais). Das ist wahr: Wir können eine DNA-Molekül kartografieren, Gene zwischen Daumen und Zeigefinger greifen, sie hierhin bringen, dorthin setzen usw.
Eindrucksvoll.
... Aber wie Testard sagt: „Es funktioniert nicht“. Die so eingepflanzten Gene verlieren ihre ursprüngliche Funktionalität oder sind einfach nicht mehr funktionsfähig. Natürlich ist das etwas, das Gen-Ingenieure nicht überall schreien. Aber Testard sagt es, was sie sehr stört. Die Gen-Engineering ermöglicht viel Rauch, bringt Subventionen ein und erlaubt das Patentieren. Da ich kein Biologe bin, kenne ich diese Dinge nicht genau. Lesen Sie Testard („Menschen, die möglich sind“, Seuil). Die Schlussfolgerung wäre, dass wir als Kartografen nicht so viel Fortschritt gemacht haben, wie wir hofften. „Die DNA“, sagt Testard, sei nur eine Datenbank. Laut ihm enthalte diese komplexe Molekül nicht „die gesamte Intelligenz der Zelle“. Diese „Intelligenz“ müsse in der Zelle selbst gesucht werden, die „die eigentliche elementare lebende Einheit“ sei. Die Gen-Ingenieure seien wie Menschen, die in einem Haus bestimmte Elemente verschieben, zum Beispiel Griffen und Schlösser an Wände statt an Türen mit Scharnieren anbringen, überrascht sind, dass sie nicht funktionieren, elektrische Glühbirnen an Wasseranschlüsse anschließen und erstaunt sind, dass sie nicht leuchten.
Offene Frage.
... Mit diesem vierblättrigen Kosmos liegt Metaphysik in der Luft. Im schlimmsten Fall ist es nur ein Versuch eines Geometers, eine Angelegenheit zum Vergnügen unter Freunden. Im besten Fall... weiß ich es nicht.
... Auf jeden Fall verdienen die Zwillinguniversen als zweiblättrige Überlagerung den Begriff „parallele Universen“. Wenn man ihre Zeitpfeile mit der Normalen einer Raumfläche identifiziert und diese Pfeile antiparallel sind, dann sind die beiden Räume wie zwei Farbschichten, die auf beiden Seiten einer zweidimensionalen Fläche angeordnet sind.
... In ähnlicher Weise könnten die beiden anderen Universen mit ihren rein imaginären Zeitpfeilen als „senkrecht zu unserem“ betrachtet werden. Daraus ergibt sich die Idee eines Theorems, das eines Tages vielleicht Wirklichkeit werden könnte:
Zwei Universen, die senkrecht auf ein und dasselbe drittes Universum stehen, sind untereinander parallel.
Sache zur Beobachtung.
